Numeros Reales

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES.

Los números reales las cuales están representado por la letra R y las operaciones de adicción, representado por el signo “mas” (t) y la multiplicación representada por un punto (.)

Al realizar estas dos operaciones, los números reales cumplen con seis propiedades, y cuando un conjunto de elemento cumple totalmente con estas propiedades recibe el nombre de campo. De ahí que hablamos de propiedades de campo de los números reales

.

La suma de los números reales tienen las siguientes propiedades: de cerradura, conmutativa, asociativa. Existencia del elemento neutro y la existencia del elemento inverso.

Propiedad de cerradura. Esta propiedad indica que la suma de dos números reales cualesquiera es también un número real.

Ejemplo: 5+4= 9

1/5 +3/2 =17/10

Simbólicamente representamos esta propiedad así.

a, b € R (a +b) € R si a y b son números reales, entonces a +b es un número real.

Propiedad conmutativa: en esta propiedad el orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

Ejemplo: 2+8 = 8+2e

5+ (-3) = (-3)+5

Lo representamos así: a, b € R a +b =b

+a si a y b son números reales entonces a + b = b+a

Propiedad asociativa: en virtud de esta propiedad se pude sumar varios números sin importar cuáles de ellos se sumen primero.

Ejemplo: 7+(6+1)=(7+6)+1

-2+ (4+7)= (-2+4)+7

Simbólicamente lo representamos a esta propiedad

a, b, c € R (a +b) + c = a +(b + c). si a , b , c son números reales, entonces a ( b + c ) = ( a + b ) + c.

1.3.1 TRICOTOMIA.

En los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a, entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

; ;

Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si, entonces es distinto de. Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que.

Es una recta, donde a la izquierda están los números negativos, al "medio" el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación, es que está a la izquierda de. Esta manera de visualizar es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.

Por ejemplo

Si y, entonces

La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si es un número real queestá a la izquierda de, y está a su vez a la izquierda de, entonces está a la izquierda de.

Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales. Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro.

1.3.2 TRANSITIVA.

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

Si para todo valor a, b, c numero natural: a divide a b y b divide a c entonces a divide a c.

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple y pero no se cumple puesto que X es subconjunto de Z.

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

1.3.3 DENSIDAD.

Entre dos números reales diferente a y b, no importa que tan cercano se encuentren, existe otro número real. Una forma en que los matemáticos describían la situación que se ha expuesto es declarar que los números racionales y los números irracionales son densos en la recta real, una consecuencias de la prioridad de densidad es que cualquier número irracional puede aproximarse tanto como se quiere por medio de un numero racional con una representación decimal.

Tome como ejemplo √2 la sucesión de números racionales 1.4142, 1.41421, 1.414213,… avanza constantemente e inexorableblemente hacía √ 2. Avanzando lo suficiente en esta sucesión podemos estar tan cerca como queras de √2.

Densidad de los números racionales y los nueros irracionales

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Dados dos números reales diferentes y, su promedio esta comprendido entre y. Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. Esto implica que dado un número real cualquiera no tienen sentido expresiones tales como " el número real siguiente a " o " el número real anterior a".

Usando nuestra caracterización de los números reales como expresiones decimales, podemos refinar el resultado anterior y establecer los siguientes resultados.

Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.

Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.

1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO.

Axioma del supremo o axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números

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