Los números reales

Número real

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Diferentes clases de números reales.

Recta real.

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.1

Los números reales pueden ser constituidos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales en la materia de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo en dicha materia

Tricotomia

En la Aritmética, la tricotomía denota las características de una relación ordenada entre dos números. La Ley de la tricotomía es una proclamación formal de una propiedad que para muchos de los estudiantes es bastante obvia, al hacer comparaciones entre dos números. De acuerdo con la propiedad de la Tricotomía, una de las relaciones tiene: x> y, x = y o x <y. Es decir, un número real puede ser positivo, negativo o cero. En términos matemáticos, se puede denotar como:

Esta propiedad de la Tricotomía, en la lógica estándar, se utiliza para la evaluación de los números reales que abarcan sus subconjuntos de los Números Reales. Con respecto a los Números Reales, puede ser reformulada como: Por cada dos Números Reales x e y, de cada tres relaciones, para una de las relaciones es cierto que: a> b, a = b o a <b.

En palabras más simples, para cualquier relación correspondiente S en el conjunto Q, la relación se dice que es tricotómica si , una de las relaciones mantiene:

x Q y, x = y y Q x

Cuando se habla de la propiedad reflexiva o total, no es necesario que la ley de la Tricotomía se mantenga.

Como x Q x no debe ser verdadero. Las relaciones tricotómicas también son asimétricas, al ver que y R x e x R y son siempre falsas.

Las relaciones tricotómicas tienen algunas propiedades importantes, que son:

Simétrica: Una relación tricotómica siempre es no simétrica. Por ejemplo: 4 <4 es falsa siempre.

Reflexiva: Una relación tricotómica siempre es no reflexiva. Por ejemplo: 5 es menor que 6, pero 6 nunca es inferior a 6.

Transitividad: Una relación tricotómica es generalmente transitiva. Por ejemplo: 4 <5, 5 <6, y 4 <6.

Cuando la relación tricotómica es transitiva, entonces en ese caso, se dice que esa relación es de orden total estricto.

Para una mejor comprensión, considere el ejemplo de los tres elementos x, y, z.

En este caso, la relación Q dada por x Q y, x Q z, y Q z se dice que es una relación de orden total estricto, mientras que en la relación Q se representa como un ciclo x Q y, y Q z, z Q x resultó ser una relación tricotómica no transitiva.

La aplicación de la Tricotomía y sus propiedades puede ser mejor entendido con la ayuda del siguiente ejemplo:

Mientras se resuelven dos expresiones lineales

-2x + 7

3x + 5

La ley de tricotomía propone tres posibilidades muy variadas:

(1). −2x + 7 > 3x + 5

(2). - 2x + 7 = 3x + 5

(3). – 2x + 7 < 3x + 5

Se dice que cuando uno de los valores de la solución toma la posición de la variable x, en ese caso, exactamente una de las ecuaciones es cierta.

Se puede establecer simplemente como la unión de los conjuntos de soluciones de los números reales R, y la intersección de cualquiera de los dos grupos en el conjunto vacío.

Aplicaciones similares de la Tricotomía son definidas para la desigualdad del valor absoluto, la desigualdad polinomial, así como para las desigualdades de segundo grado.

Propiedad de tricotomía de números reales

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b.

Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente

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