Numeros Reales

UNIDAD I

NUMEROS REALES

LA RECTA NUMERICA

Los números reales pueden ser vistos como rótulos de puntos que están a largo de una recta horizontal. Miden la distancia a la derecha o a la izquierda (la distancia dirigida) desde un punto fijo llamado origen y marcado con 0 (figura 4). Aunque no tengamos la posibilidad de mostrar todos los rótulos, a cada punto correspondiente de único número real. Ese número se llama coordenada del punto. La línea coordenada que se obtiene se llama recta real o recta numérica

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3/2 ½ √2 7/3 π

FIGURA 4

NEGATIVOS POSITIVOS

NUMEROS REALES

Considérese al conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Esos números se llaman números reales.

Los números que se pueden escribir en la forma , donde m y n son enteros y n≠0, se llaman números racionales

Por ejemplo: , ,

Todo número racional puede ser escrito como decimal, dado a que dividimos el numerador entre el denominador, obtenemos un decimal; por ejemplo:

Los números racionales en su presentación decimal, es finita o se repite en ciclos regulares hasta infinito; por ejemplo:

1.1818181818….

Finito Ciclos regulares

Los números irracionales al igual que los racionales son un cociente de dos enteros, pero en su representación decimal no se repiten ciclos, son decimales no periódicos. Por ejemplo:

0.101001000100001….

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Dados dos números reales x y y podemos sumarlos o multiplicarlos para obtener dos nuevos números x + y y x ▪ y.

La adicción y la multiplicación tienen las siguientes propiedades familiares. Las llamamos propiedades de campo.

LEYES CONMUTATIVAS

X+Y = Y + X Y XY = YX

LEYES ASOCIATIVAS

X+ ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z Y X ( YZ ) = ( XY ) Z

LEY DISTRIBUTIVA

X ( Y + Z ) = XY + XZ

ELEMENTOS NEUTROS

Hay dos números distintos, 0 y 1, que satisfacen las identidades X + 0 = X y X ▪ 1 = X

INVERSOS

Cada numero tiene un inverso aditivo (también llamado negativo), -x, que satisface la expresión X + (-X) = 0. Además, cada numero X, excepto 0, tiene un inverso multiplicativo (también llamado reciproco), , que satisface la expresión X ▪ = 1

La sustracción y la división se define por:

PROPIEDADES DE ORDEN

TRICOTOMÍA

Si X y Y son números, se cumple una y solo una de las siguientes propiedades:

X < Y ò X = Y ò X > Y

TRANSITIVIDAD

X < Y y Y < Z → X < Z

ADITIVA

X < Y ↔ X + Z < Y + Z

MULTIPLICATIVA

Cuando Z es positivo, X < Y ↔ XZ < YZ. Si Z es negativo, X < Y ↔ XZ > YZ

DENSIDAD

Entre dos números reales diferentes cualquiera X y Y, hay otro numero real. El numero Z = (X + Y) / 2 es un numero a la mitad entre X y Y. Dado que también hay un numero S entre X y Z y otro numero T entre Z y Y y como este argumento puede repetirse ad infinitum, quedamos obligados a aceptar la sorprendente pero correcta conclusión de que entre dos números reales diferentes cualesquiera hay una infinidad de otros números reales.

Tanto los números racionales como los irracionales son densos en la recta real. Todo numero tiene tanto vecinos racionales como irracionales arbitrariamente cercanos a el. Por ejemplo:

Tómese como ejemplo. La sucesión de números racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4141……… sigue hacia la

INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES

La doble desigualdad a< x < b describe un intervalo abierto que consiste en todos los números correspondientes entre a y b sin incluir los extremos a y b.

Lo designamos mediante el símbolo (a, b) figura 1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Figura 1

( -1,6 ) = { X : -1 < X < 6 }

Por el contrario, la desigualdad a ≤ x ≤ b describe el correspondiente intervalo cerrado que si incluye los extremos a y b. Se denota como [a, b] figura 2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Figura 2

( -1, 5 ) = { x: -1 ≤ x ≤ 5 }

Existen otras representaciones como las siguientes:

CONJUNTOS INTERVALO GRAFICA

{ x : a < x < b } ( a, b ) ( )

a b

{ x : a ≤ x ≤ b } [ a, b ] [ ]

a b

{ x : a ≤ x < b } [ a, b ) [ )

a b

{ x : a < x ≤ b } ( a, b ] ( ]

a b

{ x : x ≤ b } ( - ∞, b ] ]

-∞

...