Numeros Reales

Números reales

Números naturales y enteros

Números naturales

Los números naturales son simplemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (y así sigue) aunque según a quien preguntes, el cero es o no un número natural, así que te pueden decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, …

¡Pero nada de fracciones!

Números racionales

Un número racional es un número que se puede escribir en fracción

(o sea, como un cociente).

Por ejemplo 1.5 es un número racional porque 1.5 = 3/2 (se puede escribir en forma de fracción)

Aquí tienes más ejemplos:

Número En fracción ¿Racional?

5 5/1 Sí

1.75 7/4 Sí

.001 1/1000 Sí

0.111... 1/9 Sí

√2

(raíz cuadrada de 2) ? ¡NO!

¡Vaya! La raíz cuadrada de 2 no se puede escribir en forma de fracción! Y hay muchos más números así, como no son racionales se llaman irracionales.

Definición formal de número racional

Más formalmente diríamos:

Un número racional es un número que se expresa en la forma p/q

donde p y q son enteros y q es distinto de cero.

Así que un número racional es:

p / q

donde q no es cero

Ejemplos:

P q Número racional

1 1 1

1 2 0.5

55 100 0.55

1 1000 0.001

253 10 2.53

7 0 ¡No! ¡ "q" no puede ser cero!

Números irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3.1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),

¡no porque esté loco!

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9.5 se puede escribir en forma de fracción así

19/2 = 9.5

así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos:

Números En fracción ¿Racional o

irracional?

5 5/1 Racional

1.75 7/4 Racional

.001 1/1000 Racional

√2

(raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 1.7320508075688772935274463415059 (etc)

√99 9.9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.

Entonces... ¿qué números NO son reales?

√-1 (la raíz cuadrada de menos 1) no es un número real, es un número imaginario

Infinito no es un número real

Y también hay otros números especiales que los matemáticos usan y que no son números reales

Números imaginarios

Definición

Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo.

Intentos

Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:

2 × 2 = 4

(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)

0 × 0 = 0

0.1 × 0.1 = 0.01

¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.

Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.

Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto:

i × i = -1

¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?

Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:

Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?

Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i

Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

Unidad imaginaria

La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).

En matemáticas se usa i (de imaginario) pero en electrónica se usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra siguiente después de la i es la j).

Ejemplos de números imaginarios

i 12.38i -i 3i/4 0.01i -i/2

Los números imaginarios no son "imaginarios"

De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma).

Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.

Utilidad

Aquí

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