Numeros Reales

Presentación de la unidad

Se pretende que en esta unidad, se revisen las propiedades de los números reales desde

una vista intuitiva, estas a su vez son útiles al momento de operar con diferentes

números. Estas propiedades establecen reglas que deberás aplicar durante todo el

desarrollo del curso.

Revisarás los axiomas de la suma, producto o multiplicación, de distribución que involucra

a la suma, multiplicación y división. También veremos los axiomas de orden y completes,

donde a todo conjunto de números reales le corresponde un antecesor y sucesor.

El valor absoluto de un número real y los intervalos que puede tomar en un conjunto de

número y su representación gráfica del valor absoluto de un número real. Para terminar

revisarás el concepto de función, su dominio y contradominio, su representación gráfica

tomando valores que lleguen al límite y sus diferentes operaciones.

Propósitos

• Identificar los axiomas de estructura algebraica de los números reales

• Resolver problemas utilizando los axiomas de orden

• Identificar los conceptos de valor absoluto y los intervalos

• Determinar el dominio, el contradominio (o codominio), y la imagen de una función

• Operar con funciones y determinar su gráfica

Competencia específica

Utilizar las propiedades de los números reales para analizar funciones reales de variable

real, por medio de sus componentes y su representación gráfica

Axiomas de los números reales

En esta unidad se presenta al conjunto de los números reales ° desde un punto de vista

axiomático, iniciando con su estructura algebraica, su relación de orden y la condición de

completés. Además, se estudian los distintos tipos de intervalos que existen, para finalizar

con el estudio del concepto de función y de su representación gráfica.

Cálculo diferencial

Unidad 1. Números reales y funciones

Ciencias Exactas, ingenierías y Tecnologías

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El campo de los números complejos

El primer contacto que tiene un estudiante con los números es por medio de los números

naturales • ={1, 2,3 } … , en este conjunto existe la operación de suma, ésta a su vez

induce a la operación de resta, el problema resulta al observar que no siempre se puede

realizar esta operación. Este desafortunado hecho motiva la existencia de los números

enteros ¢ = …{ , 2, 1, 0,1, 2, } − − … , en este conjunto se pueden sumar, restar y multiplicar;

de manera similar a la suma, la multiplicación induce la operación de división, al igual que

para la resta en • , la división no siempre se pude llevar a cabo en ¢ , lo que motiva la

existencia de los números racionales | , a b , 0 a

b

b ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ∈ ≠

⎩ ⎭ § ¢ , en este conjunto se

pueden realizar las operaciones básicas de la aritmética: sumar, restar, multiplicar y

dividir. Lo anterior presenta la existencia de la siguiente cadena de contención de

sistemas numéricos • ⊂ ⊂ ¢ § .

El conjunto de los números reales ° , se construye a partir de los números racionales, en

consecuencia § ⊂ ° y ambos conjuntos poseen una estructura algebraica similar. Un

conjunto que permite realizar las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética toma

el nombre de campo, por tal motivo se comienza enunciando las propiedades del campo

de ° .

Axiomas de la suma: Para la operación de suma o adición se tiene que para cada par

de elementos x y, ∈° se le asigna un elemento único x y + llamado la suma de x con

y que satisface las siguientes condiciones:

(i). Asociatividad: x yz xy z ++=++ ( )( ) para cualesquiera xyz , , ∈° .

(ii). Conmutatividad: xy yx +=+ para cualesquiera x y, ∈° .

(iii). Elemento neutro: Existe 0∈° tal que x x + = 0 para cualquier x∈° .

(iv). Elemento inverso: Dado x∈° existe −x∈° tal que x x + ( )0 − = .

La propiedad (i) permite operar más de dos elementos y además permite eliminar los

paréntesis de la suma, es decir x yz xy zxyz + + = + +=++ ( )( ) . Como consecuencia

inmediata de los axiomas de la suma anterior se tiene el siguiente resultado:

Lema 1.1.1. Los elementos 0 y −x son únicos.

Demostración: Se procede por contradicción, supóngase que existe otro elemento neutro

para la suma 0 ' , entonces x x + = 0 ' para cualquier x∈° , en particular cuando x = 0 se

tiene que 0 0' 0 + = , pero por definición de 0 se tiene que 0 0' 0' + = en consecuencia

Cálculo diferencial

Unidad 1. Números reales y funciones

Ciencias Exactas, ingenierías y Tecnologías

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0 0' = . Por otra parte, supóngase que x tiene otro elemento inverso x ' para la suma, es

decir x x + =' 0 , en consecuencia se tienen las siguientes igualdades:

x x x x x xx x x x ' ' 0 ' ( ( )) ( ' ) ( ) 0 ( ) =+=+ + − = + + − = + − = −

Por lo tanto −x x = ' .

W

Otra propiedad importante es la que se conoce como ley de cancelación, la cual se

enuncia del siguiente modo:

Proposición 1.1.2. Dados xyz , , ∈° tales que xyxz +=+ entonces y z = .

Demostración: Este resultado se obtiene de aplicar los axiomas de la suma de la

siguiente manera:

( )[ ]( )[ ]

[( ) ] [( ) ]

0 0

+=+

− + + = − + +

− + += − + +

+=+

=

xyxz

x xy x xz

xxy xxz

y z

y z

Unicidad de la suma

Asociatividad

...