Numeros Reales

1.) Números Reales

Se puede definir a los números reales como el conjunto de todos los números con que realizamos operaciones matemáticas habitualmente en aritmética y álgebra.

A Los números reales se contraponen los números imaginarios, que son todos aquellos que no pueden ser representados en una recta numérica, y que corresponden al producto b*i, donde b es un número real, y la constante i representa la raíz cuadrada de-1

2) Clasificación de los Números Reales

Los números reales son parte primordial de las matemáticas, ya que son todos los números que pueden ser representados en una recta numérica. Los números reales comprenden:

• Los números positivos.

• Los números negativos.

• El cero.

• Las fracciones.

• Los decimales.

• Los números racionales.

• Los números irracionales.

Generalmente el conjunto de los números reales es representado por la letra “R”, y se les aplican las operaciones y las diferentes propiedades de operación estudiadas en aritmética y en álgebra:

• Suma

• Resta

• Multiplicación

• División

• Potenciación

• Raíz

• Propiedad Asociativa

• Propiedad Conmutativa

• Propiedad Distributiva

• Propiedad de Cerradura

• Elemento neutro

Ejemplo

• Números naturales: {12345678910…}

• Números enteros positivos = {1, 2. 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}

• Números enteros negativos = { -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9}

• Cero: 0

• Números fraccionarios: ½, ¼, 14/35, 2/7

• Números decimales: .25 0.999, 0.625

• Números racionales: .125 y 1/8, .5 y ½, .85 y 17/20

• Números irracionales: p = 3.14159265358979323846… (pi); j = 1.618033988749894848204586834365638117720309… (phi, Número Áureo ); √1

3) Operaciones con fracciones

1.- Fracciones de una cantidad

Para calcular la fracción de una cantidad se multiplica la cantidad por el numerador y se divide por el denominador.

Ejemplo:

Multiplicamos 20 por el numerador: 20 x 5 = 100

El resultado lo dividimos por el denominador: 100: 6 = 16,66. Luego:

2.- Suma y resta de fracciones

Para sumar y restar fracciones hay que distinguir entre:

*Fracciones con igual denominador

*Fracciones con distinto denominador

a) Fracciones con igual denominador

En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.

Ejemplo:

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

Otro Ejemplo:

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

b) Fracciones con distinto denominador

En este caso para sumar o restar fracciones: Lo primero que hay que hacer es buscar un denominador común a todas ellas.

Luego sustituir las fracciones originales por fracciones equivalentes con este denominador común.

Y ¿cómo se calcula este denominador común? utilizaremos el método del mínimo común múltiplo (MCM).

Una vez obtenido el denominador común hay que calcular las fracciones equivalentes. Para cada fracción haremos lo siguiente.

Sustituimos su denominador por el denominador común.

Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el denominador común por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

Ejemplo:

Vamos a calcular las fracciones equivalentes:

Primero calculamos el denominador común: si calculamos los múltiplos de 4, de 3 y de 5 vemos que el MCM es 60.

Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción:

Primera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 4 =15

Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 = 30

Segunda fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 3 = 20

Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 = 120

Tercera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 5 =12

Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 = 36

Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:

Y procedemos a la suma:

4) Propiedades de la potenciación

• Exponente de Potencias de Igual Base

El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplo:

23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29

43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411

• Exponente igual a Cero

Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad.

Ejemplo: a0 = 1

• Potencia de una Potencia

La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Ejemplo:

(23)2 = 23 x 2 = 26

(44)3 = 44 x 3 = 412

• Multiplicación y División de Igual Base

Si es Multiplicación de potencias de bases iguales se suman los exponentes y se conserva la base

Ejemplo:

2^3 x 2^5=2^(3+5) = 2^8

y si es División de potencia de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base

Ejemplo:

2^9: 2^2= 2^ (9-2) = 2^7

• Exponente Negativo

La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Ejemplo:

5) Operaciones con Polinomios

Suma de polinomios.

Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Ejemplo:

Consideremos los polinomios

P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x – 4

El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2

Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:

2x3 + 8x3 = 10x3

-5x2 + 3x2 = -2x3

6 - 4 = 2

6) Factorización

En

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