Numeros Reales

Matemática Básica

1. Números Reales

1.1. Construcción histórico - intuitiva

Definición de Conjunto:

Un conjunto es una colección o lista de objetos bien definidos. Los objetos que conforman un conjunto se denominan elementos. Se acostumbra emplear letras mayúsculas para representar conjuntos y letras minúsculas, para los elementos.

Ejemplos:

1. Un conjunto de todos los canales de TV abierta en la ciudad de Panamá.

2. Un conjunto de los números primos entre 10 y 20.

3. Un conjunto de las letras que forman la palabra Estudiantes.

Si A es un conjunto cualquiera y x es un elemento de dicho conjunto, la notación x є A significa que “x pertenece o es elemento del conjunto A”. Para denotar que x no es elemento de A, se escribe x  A.

Para describir o definir un conjunto existen dos formas tabular:

1. Por enumeración, cuando se listan los elementos que constituyen el conjunto entre llaves.

2. Por comprensión, cuando se proporciona la regla que identifica sus elementos entre llaves.

Ejemplo: Describa el conjunto

E = todos los números naturales que son múltiplos de 3, por enumeración y por comprensión.

1. Por enumeración: E = 3, 6, 9, 12, ... 

2. Por comprensión: E = x:x = 3n, n є N

Práctica

A = a es el conjunto que consta del solo elemento a.

B = a, b es el conjunto que consta de dos elementos a y b.

C = 1, 2, 3, 4 es el conjunto de números naturales menores que 5.

K = 2, 4, 6, ...  es el conjunto de todos los números naturales pares.

L = ..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...  es el conjunto de todos los enteros divisibles por 5.

C = x: x є N, x < 5

K = x: x є N, x es par

L = x: x є Z, x es divisible por 5

• El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Se denota como A = Ø.

• Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si todo elemento de A es un elemento de B. Se denota por A  B.

Observaciones:

1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

2. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

• Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio de B, si B tiene al menos un elemento más que el conjunto A. Se denota como A  B.

Ejemplo: Sean A = 1, 2, 3 y B = 1, 2, 3, 4. Como todos los elementos de A son elementos de B y B tiene un elemento más que A, entonces se establece que A  B (“A es subconjunto propio de B”).

• Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.

Ejemplo: Sean A = 1, 2, 3 y B = 3, 1, 2, entonces A = B.

• Se le llama conjunto universo a aquel que contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada. Se denota usualmente con U.

Ejemplo: Si A = 1, 2, 3,4, B = 4, 6, 8, C = 5, 7, 9 son los conjuntos que interesan, entonces el conjunto universo es U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

El Conjunto de los Números Naturales

Este conjunto está formado por los siguientes elementos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... 

y se representa con el símbolo N.

Dicho conjunto es infinito, es decir, que dado un número natural existe siempre un número natural mayor que él.

• Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 + 5 = 13 y 8 x 5 = 40; la suma 13 y el producto 40 son números naturales.

• En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 - 5 = 3 y 8 / 2 = 4 son números naturales, pero 5 – 8 y 2 / 7 no son números naturales.

• Así dentro del sistema de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar o dividir.

Con objeto de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros.

El Conjunto de los Números Enteros

Este conjunto se expresa así:

 ... –4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... 

y se representa con la letra Z

Como podemos notar, en Z encontramos todos los elementos de N por lo cual se afirma que:

N  Z

Es decir que:

Tanto del conjunto de los Números Naturales como del conjunto de los Números Enteros se dice que son:

• Infinitos

Ya que no existe en ellos ningún número que podamos considerar que sea el último, es decir que, dado un número entero (o natural) siempre existirá un número entero (o natural) mayor que él.

• Ordenados

Puesto que en ambos conjuntos es posible definir una relación que los ordena, la relación “mayor que”, que dice que sí consideramos dos números enteros (o naturales) a y b colocados en la recta numérica:

b a

diremos que “a es mayor que b”, sí en dicha recta, a está colocada a la derecha de b. Representamos dicha relación así: a > b

• Discretos

Ya que no siempre es posible encontrar un número entero (o natural) entre dos números enteros (o naturales). Por ejemplo, entre el 7 y el 8 no es posible encontrar otro número entero (natural).

Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero.

Por ejemplo: -3 +8 = 5

(-3) (5) = -15 todos son números enteros.

3 – 8 = -5

Pero, aún no podemos dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que 8 / (-2 ) = -4 es un entero, pero 8 / 3 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar, pero no siempre podemos dividir.

Para superar la limitación de la división extendemos el sistema de los enteros al sistema

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