Los Numeros Reales

LOS NUMEROS REALES

EL ORIGEN DE LOS NUMEROS REALES

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C. alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass

SU CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES

Número irracional

Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero.

Número algebraico

Es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma:

anxn + an-1xn-1 + … + a1×1 + a0 = 0

Donde n > 0, cada ai es entero y an es distinto de cero.

Todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la forma a / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales como 21/2 (la raíz cuadrada de 2) y 31/3/2 (la mitad de la raíz cúbica de 3) también son algebraicas porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y 8×3 - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e. Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente.

Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un número algebraico de grado n.

Número trascendente

Tipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico.

En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que es trascendente sobre K si no existe ningún polinomio del que α es raíz (p(α) = 0).

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es también incontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes que algebraicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler lo es, siendo: , cuando . La propiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

NÚMEROS ENTEROS

Los números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar 1, 2, 3, 4, 5,…. El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surge al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales se designa por la letra N: N= {1,2,3,4,5,6,…}.

Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos (también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z={…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…}

Obsérvese que el número 0 no se considera un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos será designado por N U {0}. (U=Unión).

Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a b (ó a.b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta o sustracción) y división…

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

...