Numeros Reales

UNIDAD #1

NUMEROS REALES

1.1 La recta numérica …………………………01

1.2 Los números reales………………………..01

1.3 Propiedades de los números reales……..03

1.3.1 Tricotomía……………………………...…04

1.3.2 Transitividad………………………………05

1.3.3 Densidad………………………………….06

1.3.4 Axioma del supremo…………………….06

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades………………………………07

1.5 Resolución de desigualdad de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita……………08

1.6 Valor absoluto y sus propiedades………..09

1.7 Resolución de desigualdades que incluyen valor absoluto……………………………….10

1.1 La Recta Numérica.

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar las sumas y las restas simples, implicando especialmente números negativos. Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero.

Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero. Y para indicar si un número es mayor o menor se utiliza el símbolo < para indicar que un número es menor que otro.

1.2 Los Números Reales

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4.28; 289.6; 39985.4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Ejemplos:

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

El valor de pi = 3.14159265358979… es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz) y números trascendentes (es trascendente en caso contrario al algebraico).

Ejemplos:

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es ln 3 = 1,09861228866811…

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.-No existen raíces de orden par de números negativos en números reales.

2.-La división entre cero no está definida.

Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente

Los matemáticos usan el símbolo R para representar el conjunto de todos los números reales.

1.3 Propiedades de los Números Reales

Propiedad: Conmutativa

Operación: Suma y Resta

Definición: a+b = b+a

Que dice: El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

Ejemplo: 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5

Propiedad: Asociativa

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c

Que dice: Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

Ejemplo: 7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad: Identidad

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a + 0 = a------ a x 1= a

Que dice: Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

Ejemplo: -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17

Propiedad: Inversos

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a + ( -a) = 0------(a)1/a=1

Que dice: La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.

Ejemplos: 15+ (-15) = 0 1/4(4)=1

Propiedad: Distributiva

Operación: Suma respecto a Multiplicación

Definición: a(b+c) = ab + ac

Que dice: El factor se distribuye a cada sumando.

Ejemplos: 2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Propiedades de las igualdades

Propiedad Reflexiva

Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma.

Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad Simétrica

Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

Ejemplo:

Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11 Si a - b = c, entonces c = a – b Si x = y, entonces y = x

Propiedad Transitiva

Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales.

Ejemplo:

Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5

Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b

Si m = n y n = p, entonces m = p

Propiedad Uniforme

Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos

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