Los números Reales

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .

Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .

Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALESSE CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES

Un numero racional es un numero real que se puede expresar como el cocientea/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números realesque no son racionales se llaman irracionales. Por ejemplo, la razón delperímetro de una circunferencia a su diámetro es irracional. Este numero realse denota por P y se escribe P = 3.1416 para indicar que P esaproximadamente igual a 3.1416. Otro ejemplo de un numero irracional es Ö 2.Los números reales se pueden representar por expresiones decimales infinitas.Por ejemplo, realizando la división puede verse que la representación decimaldel numero racional 177/55 es 3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 serepiten indefinidamente. Los números reales pueden representarse siempre porexpresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una combinación dedígitos que se repiten indefinidamente. Los números irracionales puedenrepresentarse por expresiones decimales infinitas no periódicas.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1)Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.2)Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes a losreales.3)Existencia

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