Numeros Reales

Dado el conjunto

A={x∈R∶1<|a-x|+|a-2|<3}

Calcular el valor de a∈R para que 3 sea ínfimo del siguiente conjunto, sabiendo que a<x<2.

Escribir como intervalo el conjunto solución de A para a=2.

Para el conjunto hallado en b) calcular: el conjunto de cotas inferiores, el ínfimo y el mínimo, si existen, y el conjunto de cotas superiores, el supremo y el máximo, si existen.

Solución:

a) Escribamos el conjunto como intervalo. Por hipótesis a<x<2 luego

a<x ⟹a-x<0 ⟹ |a-x|=-(a-x)

⟹ |a-x|=x-a

a<2 ⟹a-2<0 ⟹ |a-2|=-(a-2)

⟹ |a-2|=2-a

Remplazando, podemos escribir:

1<|a-x|+|a-2|<3

1<(x-a)+(2-a)<3

1<x+2-2a<3

Despejando:

1-2+2a<x<3-2+2a

2a-1<x<2a+1

Podemos observar que el conjunto en cuestión es el intervalo abierto (2a-1;2a+1)

Recordemos que por definición:

“el ínfimo de un conjunto es la mayor de sus cotas inferiores”

En este caso el conjunto de cotas inferiores es el intervalo (-∞;2a-1], por lo tanto el ínfimo del conjunto es 2a-1 y el valor de a para que 3 resulte ínfimo se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

2a-1=3

2a=3+1

2a=4

b) Escribamos el conjunto para a=2:

1<|2-x|+|2-2|<3

1<|2-x|+|0|<3

1<|2-x|<3

Resolvamos esta inecuación con valor absoluto. Para ello, debemos resolver dos ecuaciones en paralelo pues: 1<|2-x|<3 ⟹ 1<|2-x| ∧ |2-x|<3

1<|2-x|<3

1<|2-x| ∧ |2-x|<3

⟹ 2-x>1 ∨ 2-x<-1

2-x>1

-x>1-2

-x>-1

x<1

2-x<-1

-x<-1-2

-x<-3

x>3

Luego:

x<1 ∨ x>3

⟹ -3<2-x<3

-3<2-x<3

-3-2<-x<3-2

-5<-x<1

5>x>-1

Luego:

-1<x<5

(-∞;1)∪(3;∞)

∩

(-1;5)

El conjunto solución es:

c) Antes de resolver este inciso recordemos:

“Sea A un conjunto de R:

a∈R es cota superior de A si a≥x ∀x∈A

s∈R es supremo de A si es la menor de las cotas superiores

b∈R es máximo de A si es la menor de las cotas superiores y b∈A

a∈R es cota inferior de A si a≤x ∀x∈A

e∈R es ínfimo de A si es la mayor de las cotas inferiores

c∈R es mínimo de A si es la mayor de las cotas inferiores y c∈A”

En resumen, un número real se dice cota superior de un conjunto A de números reales, si es mayor o igual que cualquier elemento de A; supremo de A si es la menor de las cotas superiores y decimos que es máximo de A si es cota superior y pertenece al conjunto A. Llamamos, cota inferior de un conjunto A de números reales, a un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de A; supremo de A si es la menor de las cotas superiores y es máximo de A si es cota superior y pertenece al conjunto A.

Luego, para el conjunto hallado en b) A= (-1;1) ∩ (3;5) se tiene:

Cotas Superiores: [5;∞) Cotas Inferiores: (-∞;-1]

Supremo: 5 Ínfimo:

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