Numeros Reales

NÚMEROS REALES

APRENDIZAJES ESPERADOS

Esta semana usted aprenderá o reforzará las operaciones básicas que se realizan en matemáticas con los números reales: suma, resta, multiplicación y división. En particular, operaciones con fracciones y radicales.

INTRODUCCIÓN

El trabajo se iniciará con un repaso de los números reales, ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que usted ya esté familiarizado con los conceptos, pero es útil hacer una revisión para ver cómo estas ideas trabajan juntas para resolver problemas y modelar o describir situaciones del mundo cotidiano.

Se puede ver cómo todas estas ideas se usan en la siguiente situación real: suponga que a un individuo le pagan 8 mil pesos por hora en su trabajo. Lo que interesa saber es cuánto dinero recibe.

Para describir ese salario se emplean los números reales. En efecto, se usan los números reales todos los días, por ejemplo, para describir cuál es la estatura, cuánto dinero ganan las personas, qué tanto frío o calor hace, etcétera. En álgebra, se expresan las propiedades de los números reales mediante letras que representan números. Una propiedad importante es la propiedad distributiva: A (B+C)=AB+AC

Para encontrar el sentido de esta propiedad, se puede volver a citar el salario de 8 mil pesos por hora, si se trabaja 6 horas un día y 5 horas el siguiente. El salario de los dos días se puede determinar de dos maneras distintas:

8 (6 + 5)

O bien, 8 mil pesos por 6 + 8 mil pesos por 5 y ambos procedimientos dan la misma respuesta. Esta y otras propiedades de los números reales constituyen las reglas para trabajar con los números, es decir, son reglas del álgebra. También se puede determinar el salario para cualquier número de horas mediante una fórmula. Si usted trabaja horas, entonces su salario es miles de pesos, donde se encuentra mediante la fórmula algebraica:

Entonces, si trabaja 10 horas, el salario será miles de pesos.

Una ecuación es un enunciado escrito en el lenguaje del álgebra que expresa un hecho con respecto a una cantidad desconocida . Por ejemplo, ¿cuántas horas se necesitaría trabajar para obtener 60 mil pesos? Para responder esta pregunta es necesario resolver la ecuación:

Se aplican las reglas del álgebra para encontrar . En este caso se dividen ambos miembros de la ecuación por 8, de modo que = 60/8 = 7,5 horas.

NÚMEROS REALES (R)

Para comenzar a entender se partirá con un repaso de los tipos de números que constituyen el sistema de los números reales. En primer lugar, los números naturales son: 1, 2, 3, 4,…

Los enteros están formados por los números naturales junto con los negativos y el cero:

…,-3,-2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4,…

Los números racionales se construyen al formar cocientes con los enteros. Por lo tanto, cualquier número racional , se puede expresar como:

Donde y son números enteros y . Ejemplos son:

Recuerde que la división por cero es indeterminada, por lo que expresiones como y no

están definidas. También hay números reales, como , que no pueden ser expresados como un cociente de enteros y, por lo tanto, se llaman números irracionales. Se puede demostrar que, con diferentes grados de dificultad, estos números son también irracionales:

El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo . Cuando se usa la palabra número sin calificativo, se entiende que se refiere a un número real.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Desde siempre se sabe que 2 + 3 = 3 + 2 y que 5 + 7 = 7 + 5 y que 513 + 87 = 87 + 513 y así sucesivamente. En álgebra, se expresan estos hechos, que son infinitos, mediante la expresión:

Donde y son dos números cualquiera. En otras palabras, “ ” es una manera concisa de decir que cuando se suman dos números, no importa el orden en que se sumen. Este hecho, se conoce como propiedad conmutativa de la suma.

Según Stewart (1999), las propiedades de los números reales son:

1) Propiedades conmutativas: a) , cuando se suman dos números, no importa el orden. b) , cuando se multiplican dos números no importa el orden.

2) Propiedades asociativas: a) , cuando se suman tres números no importa cuáles se suman primero. b) , cuando se multiplican tres números no importa cuáles se multiplican primero.

3) Propiedades distributivas: a) b) , cuando se multiplica un número por una suma de dos números, se obtiene el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los resultados. La propiedad distributiva se aplica siempre que se multiplica un número por una suma.

En el último paso los paréntesis se eliminan porque, de acuerdo con la propiedad asociativa, no importa el orden de la suma.

El número cero es especial para la adición, se le llama elemento neutro, porque para cualquier número real . Todo número real tiene un negativo, que cumple .

La sustracción es la operación inversa a la adición. Para restar un número de otro, simplemente se suma el negativo de ese número. Por definición:

Para combinar los números reales que contienen negativos, se utilizan, las siguientes propiedades.

Propiedades de los negativos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

La propiedad 6 establece el hecho intuitivo de que es el negativo de . La propiedad 5 se usa a menudo con más de dos términos:

Ejemplos de las propiedades de los negativos:

Sean y números reales. a) b)

El número uno es especial para la multiplicación, se le llama elemento neutro, pues para cualquier número real .

Todo número real diferente de cero tiene un inverso, , que cumple . La división es la operación inversa de la multiplicación. Para dividir un número se multiplica por el inverso de ese número. Si , entonces, por definición:

Se escribe simplemente como . Se refiere a como el cociente de y o bien, como la fracción de con ; es el numerador y es el denominador (o divisor). Para combinar los números reales aplicando la operación de división se usan las propiedades siguientes:

Las propiedades de las fracciones son:

1) , cuando se multiplican fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores.

2) , cuando se dividen fracciones, se invierte el divisor y se multiplica.

3) cuando se suman fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores.

4) , cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, se busca un denominador común. Luego se suman todos los numeradores.

5) se anulan los números que son factores comunes en el numerador y en el denominador.

6)

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