Numeros Reales

Los N¶umeros Reales

Karen Garc¶³a Mesa

tartaglia@lab.matcom.uh.cu

Universidad de la Habana

Yanelys Zald¶³var

Universidad de la Habana

Celia G¶alvez

maria5@lab.matcom.uh.cu

Universidad de la Habana

Avalado por: Dr. Rita Rold¶an

rroldan@matcom.uh.cu

Universidad de la Habana

Resumen

Se estudian varios m¶etodos para construir los n¶umeros reales manteniendo los ax-

iomas que de¯nen a los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los

siguientes:

Propiedad de continuidad

Principio de intervalos cerrados encajados

Axioma del supremo

Cortaduras de Dedekind

Adem¶as se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones.

Palabras y frases Claves: n¶umeros reales, cortaduras, conjunto

Clasi¯caci¶on: An¶alisis Matem¶atico

INTRODUCCI¶ON

Nuestro inter¶es por realizar este trabajo se debe a que pens¶abamos que conoc¶³amos

los n¶umeros reales, pero de¯nitivamente est¶abamos equivocados, pues no nos imag-

in¶abamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos

abrieron numerosas puertas al conocimiento matem¶atico, entre ellas est¶a el conocer

que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes manera de de¯nirlo.

Se atribuye a los pitag¶oricos la expresi¶on "Todo es n¶umero". La Escuela Pitag¶orica

fue la primera escuela matem¶atica griega. Antes de ellos se hab¶³a acumulado una

buena cantidad de conocimiento matem¶atico debido a culturas tales como la egipcia

y la babil¶onica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos por medio de

los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propio Pit¶agoras. Este contacto signi¯ca

para la matem¶atica de la ¶epoca un enorme salto conceptual pues, de una matem¶atica

dedicada en lo esencial a la soluci¶on de problemas de tipo pr¶actico, se pasa a una

matem¶atica interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es de-

cir una matem¶atica te¶orica. A partir de Tales y Pit¶agoras, la matem¶atica griega

evoluciona por caminos de alta complejidad que, parad¶ojicamente, se estructuran

alrededor de una disciplina com¶un: la geometr¶³a. Es as¶³ como en el siglo IIIa:C:,

m¶as de doscientos a~nos despu¶es de Tales y Pit¶agoras, aparece un texto de importan-

cia capital para la historia de la matem¶atica: los "Elementos"de Euclides, esfuerzo

totalitario de recolecci¶on del saber matem¶atico acumulado hasta la ¶epoca; dotado

de un enorme sentido pedag¶ogico que llev¶o desde su creaci¶on a separarlo en trece

vol¶umenes.

>C¶omo congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, en una sola disciplina

conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag¶orica original "To-

do es n¶umero", idea que para los propios pitag¶oricos ten¶³a un sentido tan profundo

que adquir¶³a caracter¶³sticas sagradas. En este sentido, Pit¶agoras viene a ser el pre-

decesor original de Leopold Kronecker, el matem¶atico que a¯rm¶o que "Dios cre¶o los

n¶umeros enteros, lo dem¶as lo hizo el Hombre", porque cuando un pitag¶orico hablaba

de n¶umero lo que ten¶³a en mente espec¶³¯camente era un n¶umero racional.

Esto lo podemos ver claramente en "Los Elementos "de Euclides Def:V II;1 y

Def:V II;2. La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual ca-

da una de las cosas que hay es llamada una y la segunda a¯rma que un n¶umero es

una pluralidad compuesta de unidades. De¯niciones lo su¯cientemente restrictivas

para separar el concepto de unidad del concepto mismo de n¶umero: una unidad no

es un n¶umero, es el ente que constituye a los n¶umeros.

La visi¶on pitag¶orica del n¶umero como la sustancia constitutiva del Universo, con-

dujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que

nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia

de una medida com¶un para dos segmentos distintos cualesquiera. Tambi¶en se asigna

a los pitag¶oricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre el cual, entre

otras muchas cosas, conduce a una importante proporci¶on: el cuadrado construido

sobre la diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1.

1

Ahora bien, esta proporci¶on trae como consecuencia inmediata una interrogante:

>Cu¶al es la proporci¶on que se establece al comparar la diagonal del cuadrado y el

lado del mismo?.

La respuesta demoli¶o la convicci¶on pitag¶orica de la conmensurabilidad de los seg-

mentos: ambos segmentos resultaron ser inconmensurables, no era posible conseguir

un segmento medida com¶un para ellos. De esta forma surge la primera noci¶on de

irracionalidad y desde entonces el concepto de n¶umero ha sufrido una considerable

evoluci¶on hist¶orica, estableci¶endose distintos tipos de n¶umeros que conforme son

m¶as evolucionados permiten resolver distintos tipos de problemas, por ejemplo:

i)El problema de contar, producto del cual se establecen los conocidos axiomas de

Peano.(n¶umeros naturales N)

ii)El problema de la resta (n¶umeros enteros Z). En el conjunto de los n¶umeros nat-

urales la ecuaci¶on a + x = b no siempre tiene soluci¶on (en particular solo cuando

b > a).Ampli¶andose de esta forma el conjunto de los n¶umeros naturales de modo

que se puedan representar cantidades negativas.

iii)El problema de la divisi¶on. En el conjunto de los n¶umeros enteros la ecuaci¶on

a ¢ x = b solo tiene soluci¶on cuando b es m¶ultiplo de a. Se introduce as¶³ un nuevo

concepto, el de n¶umero fraccionario.

Seducidos en parte por el ritmo y la naturalidad de esta evoluci¶on es que surge la

idea de realizar este proyecto, en el cual pretendemos profundizar en lo que para

nosotros representa un eslab¶on de esta cadena evolutiva, a trav¶es de un breve estudio

comparativo entre diferentes maneras de de¯nir el campo de los n¶umeros reales a

partir de los racionales.

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NECESIDAD DE LA EXISTENCIA DE N¶UMEROS REALES

No todos los puntos de la recta representan n¶umeros racionales; existen segmentos

de medida de un conjunto m¶as amplio. Se atribuye a Pit¶agoras el notable descubrim-

iento de la inconmesurable

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