Numeros Reales
Enviado por jonathantabares • 6 de Noviembre de 2013 • 4.503 Palabras (19 Páginas) • 279 Visitas
Los N¶umeros Reales
Karen Garc¶³a Mesa
tartaglia@lab.matcom.uh.cu
Universidad de la Habana
Yanelys Zald¶³var
Universidad de la Habana
Celia G¶alvez
maria5@lab.matcom.uh.cu
Universidad de la Habana
Avalado por: Dr. Rita Rold¶an
rroldan@matcom.uh.cu
Universidad de la Habana
Resumen
Se estudian varios m¶etodos para construir los n¶umeros reales manteniendo los ax-
iomas que de¯nen a los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los
siguientes:
Propiedad de continuidad
Principio de intervalos cerrados encajados
Axioma del supremo
Cortaduras de Dedekind
Adem¶as se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones.
Palabras y frases Claves: n¶umeros reales, cortaduras, conjunto
Clasi¯caci¶on: An¶alisis Matem¶atico
INTRODUCCI¶ON
Nuestro inter¶es por realizar este trabajo se debe a que pens¶abamos que conoc¶³amos
los n¶umeros reales, pero de¯nitivamente est¶abamos equivocados, pues no nos imag-
in¶abamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos
abrieron numerosas puertas al conocimiento matem¶atico, entre ellas est¶a el conocer
que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes manera de de¯nirlo.
Se atribuye a los pitag¶oricos la expresi¶on "Todo es n¶umero". La Escuela Pitag¶orica
fue la primera escuela matem¶atica griega. Antes de ellos se hab¶³a acumulado una
buena cantidad de conocimiento matem¶atico debido a culturas tales como la egipcia
y la babil¶onica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos por medio de
los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propio Pit¶agoras. Este contacto signi¯ca
para la matem¶atica de la ¶epoca un enorme salto conceptual pues, de una matem¶atica
dedicada en lo esencial a la soluci¶on de problemas de tipo pr¶actico, se pasa a una
matem¶atica interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es de-
cir una matem¶atica te¶orica. A partir de Tales y Pit¶agoras, la matem¶atica griega
evoluciona por caminos de alta complejidad que, parad¶ojicamente, se estructuran
alrededor de una disciplina com¶un: la geometr¶³a. Es as¶³ como en el siglo IIIa:C:,
m¶as de doscientos a~nos despu¶es de Tales y Pit¶agoras, aparece un texto de importan-
cia capital para la historia de la matem¶atica: los "Elementos"de Euclides, esfuerzo
totalitario de recolecci¶on del saber matem¶atico acumulado hasta la ¶epoca; dotado
de un enorme sentido pedag¶ogico que llev¶o desde su creaci¶on a separarlo en trece
vol¶umenes.
>C¶omo congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, en una sola disciplina
conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag¶orica original "To-
do es n¶umero", idea que para los propios pitag¶oricos ten¶³a un sentido tan profundo
que adquir¶³a caracter¶³sticas sagradas. En este sentido, Pit¶agoras viene a ser el pre-
decesor original de Leopold Kronecker, el matem¶atico que a¯rm¶o que "Dios cre¶o los
n¶umeros enteros, lo dem¶as lo hizo el Hombre", porque cuando un pitag¶orico hablaba
de n¶umero lo que ten¶³a en mente espec¶³¯camente era un n¶umero racional.
Esto lo podemos ver claramente en "Los Elementos "de Euclides Def:V II;1 y
Def:V II;2. La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual ca-
da una de las cosas que hay es llamada una y la segunda a¯rma que un n¶umero es
una pluralidad compuesta de unidades. De¯niciones lo su¯cientemente restrictivas
para separar el concepto de unidad del concepto mismo de n¶umero: una unidad no
es un n¶umero, es el ente que constituye a los n¶umeros.
La visi¶on pitag¶orica del n¶umero como la sustancia constitutiva del Universo, con-
dujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que
nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia
de una medida com¶un para dos segmentos distintos cualesquiera. Tambi¶en se asigna
a los pitag¶oricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre el cual, entre
otras muchas cosas, conduce a una importante proporci¶on: el cuadrado construido
sobre la diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1.
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Ahora bien, esta proporci¶on trae como consecuencia inmediata una interrogante:
>Cu¶al es la proporci¶on que se establece al comparar la diagonal del cuadrado y el
lado del mismo?.
La respuesta demoli¶o la convicci¶on pitag¶orica de la conmensurabilidad de los seg-
mentos: ambos segmentos resultaron ser inconmensurables, no era posible conseguir
un segmento medida com¶un para ellos. De esta forma surge la primera noci¶on de
irracionalidad y desde entonces el concepto de n¶umero ha sufrido una considerable
evoluci¶on hist¶orica, estableci¶endose distintos tipos de n¶umeros que conforme son
m¶as evolucionados permiten resolver distintos tipos de problemas, por ejemplo:
i)El problema de contar, producto del cual se establecen los conocidos axiomas de
Peano.(n¶umeros naturales N)
ii)El problema de la resta (n¶umeros enteros Z). En el conjunto de los n¶umeros nat-
urales la ecuaci¶on a + x = b no siempre tiene soluci¶on (en particular solo cuando
b > a).Ampli¶andose de esta forma el conjunto de los n¶umeros naturales de modo
que se puedan representar cantidades negativas.
iii)El problema de la divisi¶on. En el conjunto de los n¶umeros enteros la ecuaci¶on
a ¢ x = b solo tiene soluci¶on cuando b es m¶ultiplo de a. Se introduce as¶³ un nuevo
concepto, el de n¶umero fraccionario.
Seducidos en parte por el ritmo y la naturalidad de esta evoluci¶on es que surge la
idea de realizar este proyecto, en el cual pretendemos profundizar en lo que para
nosotros representa un eslab¶on de esta cadena evolutiva, a trav¶es de un breve estudio
comparativo entre diferentes maneras de de¯nir el campo de los n¶umeros reales a
partir de los racionales.
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NECESIDAD DE LA EXISTENCIA DE N¶UMEROS REALES
No todos los puntos de la recta representan n¶umeros racionales; existen segmentos
de medida de un conjunto m¶as amplio. Se atribuye a Pit¶agoras el notable descubrim-
iento de la inconmesurable
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