Numeros Reales

Índice

(Este mismo índice aparece en el marco de la izquierda para facilitar consultas sucesivas)

Los números naturales

El principio de inducción matemática

División exacta y división entera

Descomposición en factores primos

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides

Representación de un número natural en una base cualquiera

Los números enteros

Los números racionales

Relación de orden en el conjunto de los racionales

Densidad del conjunto de los racionales.

Propiedad arquimediana

Cardinal de los racionales

Representación decimal de los números racionales

Los números irracionales

Los números reales

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Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

• Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.

• Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

• El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

• El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien .

• Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene .

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

• Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .

o Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:

Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .

Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.

o Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:





• Dados dos números naturales , no es cierto en general que exista un natural tal que . Si tal existe se denomina cociente exacto de por , y la división se denomina exacta. En este caso se dice que es divisible por , o que es un divisor de , o que es un múltiplo de .

Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen con Los números , , y se denominan dividendo,divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento para determinar y a partir de y se denomina división entera.

• Descomposición en factores primos:

Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.

Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente.

El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos).

Todo número natural admite una descomposición en producto de números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos ejemplos.

Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema.

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.

El máximo común divisor de dos números se define, como su propio nombre indica, como el divisor más grande que ambos números tienen en común. Si disponemos de la factorización de ambos números, entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan.

El mínimo común múltiplo, nuevamente como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común. Atendiendo a las descomposiciones de ambos números, el mínimo común múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.

Según se dijo antes, calcular la factprización deoun número es un proceso muy costoso. Sin embargo, puede calcularse el máximo común divisor de dos números de una manera eficiente, sin necesidad de factorizar previamente ambos números. Es lo que se conoce como algoritmo de Euclides y consiste en lo siguiente:

o Dados dos números , comenzamos relizando la división entera de entre .

o Cada paso consiste en una nueva división, en la que el dividendo es el número que actuó de divisor en la división anterior y el divisor es el número que se obtuvo como resto en la división anterior.

o Cuando en una división se obtiene resto nulo, el máximo comun divisor de los números de los que partimos será el número que ha actuado como divisor en esa última división efectuada y que resultó ser una división exacta.

Una vez obtenido el máximo común divisor de esta manera, ¿se te ocurre cómo obtener el mínimo común múltiplo sin necesidad de factorizar los números?

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