Numeros Reales

ESQUEMA.

Introducción

1.-operaciones con conjunto

2.-propiedades de las operaciones con conjunto

3.-conjuntos numéricos N, Z, Q

4.-Conjunto R de los números reales

5.-Operaciones en R

6.-Intervalos

7.-Operaciones con intervalos

8.-Inecuaciones

9.-Inecuaciones lineales, Cuadráticas y racionales

10.- valor absoluto

Conclusión

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DESARROLLO

1.-operaciones con conjunto.

La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los  elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A ∪ B. Esto es:

Imagen

2.-propiedades de las operaciones con conjunto.

1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:

VA => A = A

2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:

AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

(AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.

Intersección de conjuntos. Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se representa por AnB, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y a B. Es lógico que la intersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos).

Ejemplo: Dados los conjuntos A = { d, f g, h } y B = { b, c, d, f }, su intersección será: AnB = {d,f}

La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura, en la cual la intersección es la parte rayada.

Propiedades de la intersección. Son las mismas que las de la unión; por tanto, las expresaremos de la forma siguiente:

1. Propiedad idempotente: VA => AnA = A

2. Propiedad conmutativa: AnB = BnA

 Propiedad asociativa: (AnB)nC = An(BnC)

Propiedades comunes a la unión y a la intersección.

 Ley de absorción. Tiene dos formas distintas que se expresan: An(AUB) = A y Au(BnC)

Expongamos un ejemplo como comprobación:

A = {1, 2, 3 , 4} y B = {1, 2, 3, 6}.

Hagamos primero la unión de A con B: AUB = {1,2,3,4,6}

y ahora, la intersección del mismo con el conjunto

A: An(AUB) = {1, 2, 3 , 4} = A

Análogamente:

AnB = {1, 2, 3}, AU(AnB) = {1, 2, 3 , 4} = A B) = { 1,2, 3, 4 } = A.

3.-conjuntos numéricos N,Z,Q.

  -N = Conjunto de los Números Naturales

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número ilimitado de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

-N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales

N 0 =  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

-Z  =  Conjunto de los Números Enteros

Z =   {–3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N*  U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos: Z +

Enteros Positivos y el Cero: Z 0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

                             Z  =  Z ¯  U  {0}  U  Z +

-Q = Conjunto de los Números Racionales

Q  = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

4.-Conjunto R de los números reales

Se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q È Q*.

En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo). 

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