Axiomas de los Números Reales

letraAl "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.

Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es por que son un grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa, distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que los números reales sean un campo.

Contenido [ocultar]

1 Otras propiedades

2 Axiomas de los Números Reales

2.1 Los Elementos de Identidad

2.2 Los Elementos Inversos

3 Ejemplo # 1

4 Ejemplo # 2

5 11. NÚMEROS REALES.

6 ¿ Te Fue De Ayuda ?

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8 Los Numeros Reales

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos

Que dice

Ejemplo

-( -a ) = a

El opuesto del opuesto es el mismo número.

- ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab)

El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)

= - 30

( - a)( -b) = ab

El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a

El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Axiomas de los Números Reales

Axioma de los números reales (suma y resta)

Ley de cerradura

Para \todo \ elemento \ a,b \ \epsilon \ R\ decimos \que:

a+b \ \epsilon \ R

a*b \ \epsilon \ R

Axioma conmutativo

Para \todo \ elemento \ a,b \ \epsilon \ R\ decimos\que:

a+b = b+a

a*b = b*a

Axioma asociativo

Si \ a,b \ y \ c \ \epsilon \ R\ \ decimos \ que:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a * b) * c = a * (b * c)

Axioma distributivo

Si \ a,b \ y \ c \ \epsilon \ R\ \ decimos \ que:

a *(b + c) = ab+ ac

Axioma del elemento neutro

Los \ números \ R \ poseen \ como \ elemento \ neutro \ el \ 0 \ y \ el \ 1 \ (suma \ y \ resta \ respectivamente) \ entonces \ decimos \ que:

a+0=a

a*1=a

Axioma del elemento inverso

Si \ a \ \epsilon \ R\ existe \ un \ (-a) \ talque:

a+(-a)=0

Axioma del numero inverso

Si \ a \ esta \ en \ R \ y \ es \ diferente \ a \ 0 \ existe \ un \ elemento \ 1/a \ en \ R \ tal \ que:

a*(1/a)=1

Los Elementos de Identidad

Los elementos identidad en los números Reales son:

Identidad para la adición o Neutro Aditivo: el neutro aditivo es el 0, ya cualquier número sumado con 0 da el mismo número.

a \ \epsilon \ R decimos que a + 0 = a \ \epsilon \ R

Identidad para el producto o Neutro multiplicativo: el neutro multiplicativo es el 1, ya que cualquier número multiplicado con 1 da el mismo número.

a \ \epsilon \ R decimos que a * 1 = a \ \epsilon \ R

Los Elementos Inversos

Los elementos inversos en los números reales son aquellos que al multiplicar un número por este, se obtiene la identidad.

Inverso Aditivo: ‘‘‘el inverso aditivo de x es -x pues al operar x +(-x) se obtiene la identidad aditiva, que es 0.

a \ \epsilon \ R decimos que a + (-a) = 0 (identidad aditiva)

Eso también es conocido como Sustracción.

La sustracción no cumple todas las propiedades que cumplen la suma y la multiplicación.

Propiedades de la Sustracción:

i) -(-a) = a

ii) -(ab) = (-a)(b) = a (-b)

iii) -a = (-1) a

iv) (-a)(-b) = ab

Identifica la propiedad:

5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2

14 + ( -14 ) = 0

3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)

( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

Aplica la propiedad indicada:

* 5(x + 8) ; (conmutativa de suma)

* (3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación)

* (9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva)

* 12(x + y) ; (distributiva)

* 9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación)

* (x + y) + z ; (asociativa de suma)

Ejemplo # 1

1 - (2 - 3) = 2 Λ (1 - 2) - 3 =

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