Geometria, Axioma, Teorema

GEOMETRIA

La geometría (del latín geometría) geo tierra y metria medida.

La geometría es una parte de la matemática que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros.

En la práctica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías.

La geometría clásica o axiomática es una matemática en la cual los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas.

FIGURAS GEOMETRICAS

El avance de la geometría depende fuertemente del avance en las definiciones, las propiedades de los triángulos son posibles de enunciar sin hacer referencia a estos, pero sería un proceso largo tedioso e inútil.

• Figuras fundamentales: Punto, Recta y Plano.

• En la recta se pueden ver: Segmentos, semirrectas y vectores

• En el plano, una recta determina dos semiplanos, su intersección determina las figuras convexas: faja, Ángulo, Triangulo, Cuadrángulo y Polígono.

• Utilizando el concepto de distancia: se definen: el círculo y la esfera.

• Utilizando el concepto de semi espacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro, y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepípedo.

• El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro

RELACIONES Y PROPIEDADES

Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes, dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares o oblicuas (se cortan en un punto formando ángulos no rectos).

En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). Uno de los conceptos más importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.

CLASES DE GEOMETRIAS

Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana también conocida como geometría plana.

Agregando a estos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (estos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La Geometría descriptiva, es la que se encarga de que los problemas posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.

Si agregamos otros axiomas, ya sean diferentes postulados de paralelismo o de existencia de conjuntos de puntos mayores que el plano (y menores que el espacio) se obtienen las geometrías no euclídeas

Utilizando los conocimientos de otras áreas (y por lo tanto sus axiomas respectivos), se obtienen:

• La Geometría analítica.

• Los métodos del álgebra.

• Los Métodos del análisis matemático.

AXIOMA

La palabra axioma proviene del griego que significa “lo que parece justo” o, que se le considera evidente, sin necesidad de demostración.

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. Puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Un axioma es una proposición que se considera “evidente” y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.

En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas “afirmaciones evidentes”, porque permiten deducir las demás fórmulas.

SISTEMA AXIOMÁTICO

En lógica y matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Ejemplos de sistemas axiomáticos deductivos son la geometría euclidiana compilada por Euclides en los Elementos y el sistema axiomático de la lógica proposicional.

SISTEMAS AXIOMÁTICOS FORMALES E INFORMALES

Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal:

• Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada.

• Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.

Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.

LIMITACIONES DE LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOS

A mediados del siglo XX, Kurt Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud. Estos teoremas mostraban que aunque un sistema de axiomas recursivos estuviera bien definido y fueran consistentes, los sistemas axiomáticos con esos sistemas de axiomas adolecen de limitaciones graves. Es importante, notar aquí la restricción de que el sistema de axiomas sea recursivamente enumerable, es decir, que

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