GEOMETRIA

1. INTRUDUCCION

La geometría es una parte de la matemática que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros.

En la práctica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías.

La geometría clásica o axiomática es una matemática en la cual los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas.

En el presente trabajo se presentan diversas figuras geométricas las cuales han sido estudiadas y empleadas en gran cantidad de elementos o cosas que vemos a diario.

2. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

CIRCUNFERENCIA:

Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.

CÍRCULO:

Es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior.

Circunferencia y círculo

2.1. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• CENTRO, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

• RADIO, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

Centro y radio de la circunferencia

• DIÁMETRO, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro).

Diámetro de la circunferencia

• CUERDA, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.

Cuerda en la circunferencia

• RECTA SECANTE, la que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta secante en la circunferencia

• RECTA TANGENTE, la que toca a la circunferencia en un sólo punto.

• PUNTO DE TANGENCIA, el de contacto de la tangente con la circunferencia.

Recta tangente y punto tangente en la circunferencia

• ARCO, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Arco de la circunferencia

• SEMICIRCUNFERENCIA, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Semicircunferencias

2.2. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

• Angulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo central

• Angulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo inscrito

• Angulo semiinscrito el vértice está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscrito

• Angulo interior su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo interior

• Angulo exterior su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Ángulos exteriores

2.3. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.

La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

Longitud de la circunferencia

Ejercicios:

• Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro.

Primero a partir del diámetro

Después a partir del radio

• La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

Llevando de cm a m

r = 90 / 100 = 0.9 m

Entonces L = 2 • π • 0.9 = 5.65 m

Donde D = 5.65 • 100 = 565 m

2.4. ÁREA DE UN CÍRCULO

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semi producto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir:

Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:

Ejemplo:

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

Como:

Despejando

Entonces

3. POLÍGONOS

Hay líneas formadas por segmentos de rectas unidos sucesivamente y con distinta dirección. Se les llama poligonales.

Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Las líneas poligonales cerradas se denominan polígonos.

Entonces podemos decir que: Polígono es una línea poligonal cerrada o que...

Polígono es la figura geométrica formada por segmentos de rectas unidos entre sí, de manera que encierran una región del plano.

3.1. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

Elementos de un polígono

En un polígono podemos distinguir:

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.

• Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.

• Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

• Ángulo interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando 180 grados sexagesimales al ángulo central o se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono.

• Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º

...