Geometria

TAREA # 1

PRESENTADO POR: DAYSI ASTUDILLO.

PROBLEMAS SOBRE VECTORES EN EL PLANO.

Encuentre la magnitud y dirección del vector dado.

u ⃗ = (4,-4)

Módulo:

|u ⃗ |=√((4)^2+(-4)^2 )

=√32=2√2=5,66

Ángulo:

α=arctg(4/(-4))

=315°=7/4 π Representación gráfica

Figura 1.

v ⃗ = (√3, 1)

Módulo:

|u ⃗ |=√((√3)^2+(1)^2 )

=√4=2

Ángulo:

α=arctg(1/√3)

=30°=1/6 π Representación gráfica

Figura 2.

u ⃗ = (-1, -√3)

Módulo:

|u ⃗ |=√(〖(-1)^2+(-√3)〗^2+)

=√4=2

Ángulo:

α=arctg((-√3)/(-1))

=240°=4/3 π Representación gráfica

Figura 3 .

Encuentre la magnitud y dirección del vector (PQ) ⃗ cuyo punto inicial P está en (2, 3) y punto final Q está en (5, 8).

Módulo:

|(PQ) ⃗ |=√(〖(5-2)^2+(8-3)〗^2 )

=√34=5,83

Ángulo:

α=arctg((8-3)/(5-2))

=59°04´ Representación gráfica

Figura 4.

Sean u ⃗ = (2, 3) y v ⃗ = (-5, 4).

2u ⃗-7v ⃗=2(2,3)-7(-5,4)

=(4,6)+(35,-28)

=(4+35,6-28)

=(39,-22).

Representación gráfica

Figura 5.

Sean u ⃗=2i ⃗ -3j ⃗ ; v ⃗= -i ⃗ +2j ⃗; w ⃗ = 7i ⃗ -2j ⃗ , encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección del vector dado:

w ⃗ .

(U_w ) ⃗=((7,-2))/√(7^2+(-2)^2 )

=((7,-2))/√(49+4)=((7,-2))/√53

=7/√53 i ⃗-2/√53 j ⃗.

Representación gráfica

Figura 6.

2u ⃗ -3v ⃗.

2u ⃗-3v ⃗=2(2,-3)-3(-1,2)

=(4,-6)+(3,-6)

=(4+3,-6-6)

=(7,-12)

(U_(2u ⃗-3v ⃗ ) ) ⃗=((7,-12))/√(7^2+(-12)^2 )

=((7,-12))/√(49+144)=((7,-12))/√193

=7/√193 i ⃗-12/√193 j ⃗

Representación gráfica

Figura 7.

3u ⃗ +8v ⃗ .

3u ⃗+8v ⃗=3(2,-3)+8(-1,2)

=(6 -9)+(-8,16)

=(6-8,-9+16)

=(-2,7)

(U_(3u ⃗+8v ⃗ ) ) ⃗=((-2,7))/√((-2)^2+(7)^2 )

=((-2,7))/√(4+49)=((-2,7))/√53

=(-2)/√53 i ⃗+7/√53 j ⃗ Representación gráfica

Figura 8.

Encuentre un vector u ⃗ que tenga la magnitud y dirección dadas.

∣u ⃗∣ =8, α = π/3.

Desarrollo.-

Sabemos que ∣u ⃗∣=√(x^2+y^2 )=8 (1)

También sabemos que tg(α)=y/x, donde α=π/3 luego se tiene que tg(π/3)=y/x

√3=y/x Þ y=√3 x (2)

Luego reemplazando (2) en (1)

8=√(x^2+(√3 x)^2 )=√(x^2+〖3x〗^2 )=√(4x^2 )

Þ 2x=8 Þ x=4 reemplazando este valor en (2)

Tenemos que y=4√3.

Luego el vector u ⃗ será: u ⃗=(4,4√3) o u ⃗=4i ⃗+4√3 j ⃗.

Gráficamente tenemos la siguiente figura:

Figura 9.

∣u ⃗∣ = 6, α = 2π/3.

Sabemos que ∣u ⃗∣=√(x^2+y^2 )=6 (1)

También sabemos que tg(α)=y/x, donde α=2π/3 luego se tiene que tg(2π/3)=y/x

-√3=y/x Þ y=-√3 x (2)

Luego reemplazando (2) en (1)

6=√(x^2+(-√3 x)^2 )=√(x^2+〖3x〗^2 )=√(4x^2 )

(6)^2=(√(4x^2 ))^2 Þ 36=4x^2

Þ x^2=±9 Þ x=±3 Þ x=-3 puesto que α=2π/3

Reemplazando este valor en (2), tenemos que y=3√3.

Luego el vector u ⃗ será: u ⃗=(-3,3√3) o u ⃗=-3i ⃗+3√3 j ⃗.

Gráficamente tenemos la siguiente figura:

Figura 10.

Determine el ángulo entre los vectores:

u ⃗ = 5i ⃗ +3j ⃗ ; v ⃗= -4i ⃗ +3j ⃗.

cos⁡〖α=(5,3)(-4,3)/(√(5^2+3^2 ) √((-4)^2+3^2 ))〗

= (-20+9)/(√34 √25)=(-11)/(5√34)

Þ α=arcos ((-11)/(5√34))

=112,17°.

...