Geometria

UNIDAD I

1. SEGMENTOS

1.1 DEFINICION DE SEGMENTOS.

Se llama segmento de recta a la porción de una línea recta comprendida entre dos puntos que pertenecen a está. Los dos puntos se llaman extremos del segmento.

Las letras “A” y “B” denotan el extremo inicial y final del segmento respectivamente, mientras que el segmento queda representado por las letras de los extremos en mayúsculas con un guion sobre estas, así el segmento de recta que va desde el punto A hasta el punto B se denota con la abreviatura , lo cual se lee segmento de recta AB.

1.2 SISTEMA COORDENADO LINEAL

Es un esquema por medio del cual se establece una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales, donde todos los puntos se encuentran ubicados sobre la misma recta.

Lo primero que debe ubicarse en dicha recta es el valor cero “0” u origen, a partir de allí se ubican los valores a la derecha o izquierda del cero, un valor que se encuentre a la derecha del cero será positivo, mientras que si se ubica a la izquierda será negativo. En este caso la correspondencia establecida por este sistema es única, es decir, que a cada número le corresponde un sólo punto sobre el eje.

1.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA LINEAL

Se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une a esos dos puntos. La distancia se denota con la letra “d”, y su valor será siempre positivo (por el valor absoluto) dado que las distancias negativas no existen. El valor numérico de una distancia en un segmento rectilíneo se obtiene restando la coordenada del punto inicial u origen de la coordenada del extremo final, si representamos a la distancia con la letra “d” se obtiene la siguiente ecuación

Ejemplo:

1) Hallar la distancia entre los puntos y . Representemos gráficamente estos valores en la recta numérica.

Resolución: Se puede apreciar que el extremo inicial es el punto cuyo valor es 5 y el extremo final es cuyo valor es -3, luego por la ecuación el valor del segmento será el extremo final menos el inicial, de los que resulta

(por definición de valor absoluto.)

Luego, el valor de la distancia desde el punto al punto es de 8 unidades.

2) Encuentre el valor de la distancia entre los puntos y . Representemos gráficamente estos valores en la recta numérica.

Resolución: Se puede apreciar que el extremo inicial es el punto cuyo valor es -2 y el extremo final es cuyo valor es 4, luego por la ecuación el valor del segmento será el extremo final menos el inicial, de los que resulta

(por definición de valor absoluto.)

Luego, el valor de la distancia desde el punto al punto es de 6 unidades.

1.4 SEGMENTOS DE RECTA DIRIGIDAS

Un segmento dirigido es aquel que se calcula por medio del valor de la distancia entre dos puntos lineales pero en el que se omite la aplicación de la propiedad del valor absoluto con la finalidad de obtener el sentido de trabajo del segmento, en este caso si el signo final es positivo el trabajo o desplazamiento del segmento es hacia la derecha, mientras que si el signo es negativo el desplazamiento es hacia la izquierda.

1.5 SISTEMAS COORDENADO EN EL PLANO

Se define como un sistema coordenado en el cual un punto puede moverse en todas direcciones manteniéndose siempre en un plano. Este sistema consta de dos rectas dirigidas “ x´ x ” y “ y´ y ” llamadas ejes de coordenadas, las cuales son perpendiculares entre sí cuyo punto de intersección es el “0” u origen. Estos ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Todo punto “p” del plano puede localizarse por medio de un sistema rectangular, para ello se utilizan dos números reales que representan los valores “x” “y” al cual se les llama coordenadas rectangulares del punto p expresados por medio de un par ordenado (x,y), cuyo primer valor se representa en el eje “x” y el segundo en el eje “y”, al trazar rectas segmentadas desde los valores “x” y “y” en la intercepción de las líneas se ubicará el punto de las coordenadas dada. A cada punto p del plano le corresponde un solo par de coordenadas, las cuales son únicas para dicho punto.

Es decir, que un sistema coordenado rectangular o plano cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre cada punto en plano y un par ordenado que pertenece a los números reales. En la siguiente figura se muestra la correspondencia entre los elementos de un sistema coordenado.

La ubicación de un punto en plano cartesiano a través de sus coordenadas rectangulares se denomina trazado de punto o representación gráfica de puntos y requiere de la determinación de un par ordenado cuyos valores sean números reales.

1.6 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

Sean dos puntos cualesquiera del plano y , la distancia entre ellos se puede determinar a través del teorema del Pitágoras, el cual plante a que para todo triangulo rectángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados .

Si llamamos , y se puede calcular la distancia de estos dos puntos en el plano.

Sustituyendo en la ecuación de Pitágoras se tiene , como las distancias y son segmentos rectilíneos, por lo que la ecuación anterior puede escribirse como , transponiendo el cuadrado del segmento y sustituyéndolo por la letra “d” se obtiene esto se puede resumir en:

La distancia “d” entre dos puntos y del plano está dada por la ecuación .

Ejemplo:

Demostrar que los puntos , y son los vértices de un triángulo equilátero.

Resolución: Un triángulo equilátero es aquel que posee sus tres lados iguales, es decir, que sus tres lados son de igual medida; por lo tanto lo que debemos hacer es calcular la longitud de cada uno de los lados del triangulo dado, esto se puede hacer por medio de la ecuación de la distancia entre

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