Geometria

Hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos:

a)

b)

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

EJEMPLOS

Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:

En este caso: a = 4; c = 5, de donde ( .En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,

EJEMPLO

Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica

La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación: e .

HIPERBOLOIDE

El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es

, en el sistema de coordenadas La revolución alrededor del eje de simetría genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje ,que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.

Los hiperboloides son cuádricas con centro de simetría Si el centro de simetría es C(0, 0, 0), y el eje del hiperboloide es el eje z, entonces

la ecuación del hiperboloide de una hoja es:

y la ecuación del hiperboloide de dos hojas es:

Si el centro fuera C(x0, y0, z0), entonces las ecuaciones se escribirían:

Elipsoide

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones. Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

a superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula:

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