Teoremas De Geometria Basica

UNIDAD 1 - ELEMENTOS BASICOS

AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO: Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos está formado por infinitos elementos llamados puntos.

AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean A y B dos puntos distintos, entonces existe una y sólo una recta a la cual ambos pertenecen, llamada “la recta AB”, ( ).

AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean A, B y C, puntos no colineales, entonces existe uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen, llamado “el plano ABC”, (ABC).

AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO: Si una recta L y un plano  tienen dos puntos distintos en común, entonces la recta L está contenida en el plano .

AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS: Si dos planos distintos tienen algún punto en común entonces su intersección es una recta.

AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA:

Una recta es un conjunto linealmente ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y no tiene puntos consecutivos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA: Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos conjuntos: el conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen y tales que:

1. Todo punto de la recta, distinto de él, pertenece a uno y sólo a uno de dichos conjuntos.

2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entre dos puntos del mismo conjunto.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO: Toda recta de un plano separa a los demás puntos del plano en dos regiones tales que:

1. Todo punto del plano, exterior a la recta, pertenece a una y sólo a una de las regiones.

2. El segmento que une dos puntos de regiones distintas corta a la recta y de la misma región no la corta.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO: Todo plano separa a los demás puntos del espacio, en dos regiones tales que:

1. Todo punto del espacio, exterior al plano, pertenece a una y sólo a una de las regiones.

2. El segmento que une dos puntos de distintas regiones corta al plano y de la misma región no lo corta.

AXIOMA DE DISTANCIA: Dados dos puntos P y Q existe un único número real llamado “La distancia entre P y Q”, denotado por “d(P,Q)” o “PQ”, el cual cumple las siguientes propiedades:

1. d(P,Q)  0

2. d(P,Q) = 0 sii P coincide con Q

3. d(P,Q) = d(Q,P)

4. Si P, Q y R son puntos del espacio, entonces d(P,R)  d(P,Q) + d(Q,R)

5. Si Q está entre P y R entonces

d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R)

TEOREMA: Si dos rectas tienen dos puntos distintos en común, entonces ellas coinciden.

TEOREMA: Si dos planos tienen tres puntos no colineales en común, entonces los planos coinciden

TEOREMA: (PLANO RECTA Y PUNTO EXTERIOR) Por una recta y un punto exterior a ella pasa uno y sólo un plano que les contiene.

TEOREMA: (PLANO RECTAS SECANTES) Dos rectas secantes determinan uno y sólo un plano que les contiene.

COROLARIO: Dos rectas cruzadas no tienen ningún punto en común.

TEOREMA: (PLANO RECTAS PARALELAS) Dos rectas paralelas determinan uno y sólo un plano que les contiene.

TEOREMA: La intersección entre dos planos secantes es una recta.

UNIDAD 2 - SEGMENTOS Y ANGULOS

TEOREMA: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexiva:

2. Simétrica:

3. Transitiva:

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS: En toda semirrecta , para cada real positivo “x”, existe un único punto B sobre , distinto de O, tal que m( ) = x.

AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado un semiplano con una semirrecta , fija en su borde, entonces a cada semirrecta de dicho semiplano, se le asigna un único número real “a” en el intervalo 0,180. Para la semirrecta se asigna el 0 y para su semirrecta opuesta el 180.

TEOREMA: La congruencia de ángulos es una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF  DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEFDEFPQRABCPQR

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una semirrecta sobre su borde, entonces para cada real “x” en el intervalo 0,180, existe solamente una semirrecta en dicho semiplano, tal que mAOB = x°.

TEOREMA: Dos ángulos son congruentes si y sólo si sus complementos son congruentes si y sólo si sus suplementos son congruentes.

TEOREMA: Si dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios.

TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes, ABC y CBD son suplementarios entonces forman un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D son colineales.

TEOREMA: Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas. (Ejercicio)

.TEOREMA: Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos. (Ejercicio)

TEOREMA: Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares. (Ejercicio)

TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa una y solamente una recta perpendicular a ella.

UNIDAD 3. TRIÁNGULOS

TEOREMA: Todo triángulo equilátero es isósceles. El recíproco es falso.

TEOREMA: La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF  DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEF DEFGHIABCGHI

AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente congruentes.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

2. Todo triángulo equilátero es equiángulo. (Ejercicio)

3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base también es mediana, altura y mediatriz con respecto a la base.

4. Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a ella.

5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes.

6. Todo triángulo tiene por lo menos dos ángulos agudos.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos.

COROLARIOS:

1. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles.

2. Todo triángulo equiángulo es equilátero.

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