Geometría Euclidiana

Geometría euclidiana

El punto es lo que no tiene dimensiones. No tiene grosor, ni profundidad, ni altura, se podría definir como una posición en el espacio.

La línea se puede considerar como el conjunto de puntos por los que pasa otro punto que se mueve continuamente. Si la dirección en la que se mueve el punto es siempre la misma se dice que estamos ante una línea recta o, simplemente recta. Si la dirección del movimiento cambia se dice que la línea es curva. Se dice que la línea tiene dimensión uno, que es la longitud que separa un punto de otro punto tomado como referencia.

Las rectas son infinitas, se pueden prolongar indefinidamente en su dirección, por lo que también se dice que tiene infinitos puntos.

El plano es el objeto que tiene dimensión dos y contiene a todos los demás objetos que vamos a representar. Es también ilimitado.

Los Cinco Postulados de Euclides son:

• Entre dos puntos cualesquiera se puede trazar una (única) línea recta.

• Todo segmento de recta se puede prolongar indefinidamente.

• Dado un punto y un segmento de recta, se puede trazar un único círculo con ese punto como centro

y con radio el segmento de recta.

• Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

• Si una línea recta intersecara dos líneas recta, de modo que los ángulos internos en un lado sumen menos de dos ángulos rectos, entonces esas dos rectas si se prolongan indefinidamente, se intersecaran de ese lado donde los ángulos en conjunto suman menos que dos ángulos rectos.

Semirrectas

Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada una de ellas recibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos semirrectas opuestas se lo llama origen.

Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semirrecta:

Semirrecta de origen O que pasa por el punto A

Semirrecta de origen O que pasa por el punto B

Características de las semirrectas

Todo punto de una recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el origen.

La intersección de dos semirrectas opuestas es el punto de origen.

La unión de dos semirrectas opuestas es toda la recta.

El Angulo

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales.

Dibujo de la bisectriz de un ángulo

Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.

Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio.

La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.

Tipo Descripción

Ángulo nulo

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto

Un ángulo recto es de amplitud igual a rad

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llano, extendido o colineal

El ángulo llano tiene una amplitud de rad

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo completo

o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Tipo Descripción

Ángulo convexo

o saliente

Es el que mide menos de rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).

Ángulo cóncavo,

reflejo o entrante

Es el que mide más de rad y menos de rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos congruentes se denominan aquellos ángulos que tienen la misma medida. Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un paralelo gramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruente.

Perpendiculares

Simplemente significa en ángulos rectos (90°) con.

La línea roja es perpendicular a la azul en estos dos casos:

(La cajita en la esquina significa "en ángulos rectos", así que no hacía falta poner también que son 90°, ¡pero queríamos hacerlo!)

Paralelas

Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y no se van a encontrar nunca. (También apuntan en la misma dirección). Sólo recuerda:

Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.

La línea roja es paralela a la azul en estos dos casos:

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto,

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