GEOMETRIA EUCLIDIANA

GEOMETRIA EUCLIDIANA FERNANDEZ HERNANDEZ CARLOS KALED 2IM4

La geometría de Euclides se atribuye al sistema matemático del matemático griego Alejandro Euclides, quien describió en su libro de texto sobre geometría: elementos. El método de Euclides implica asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y derivar muchas otras proposiciones de él. Aunque los primeros matemáticos han establecido muchos de los resultados de Euclides, Euclides fue el primero en probar cómo estas proposiciones encajan en un sistema lógico y deductivo completo. Los "elementos" comenzaron con geometría plana y todavía se enseñaron como el primer sistema de axiomas y el primer ejemplo de prueba formal en la escuela secundaria. Continúe usando geometría 3D sólida. Muchos elementos describen los resultados del álgebra y la teoría de números que ahora se explican en lenguaje geométrico.

La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría compuesta. En cierto sentido, comienza desde los axiomas que describen las propiedades básicas de los objetos geométricos (como puntos y líneas), hasta las proposiciones sobre estos objetos, todos los cuales no son utilizar coordenadas para especificar esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica, que usa coordenadas para transformar enunciados geométricos en fórmulas algebraicas.

Elemento

El elemento es principalmente la sistematización de conocimientos previos de geometría. Pronto se dio cuenta de que era una mejora con respecto a los tratamientos anteriores, por lo que la gente no estaba interesada en retener los tratamientos anteriores y ahora están casi todos perdidos.

El elemento está compuesto por 13 libros:

Este libro I-IV y VI tratan de la geometría plana. Muchos resultados se muestran en gráficos planos, por ejemplo, "En cualquier triángulo, los dos ángulos combinados de alguna manera son menores que dos ángulos rectos", y el teorema de Pitágoras "En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado derecho es igual a ". Un cuadrado con lados en ángulo recto ".

Los libros V y VII-X tratan de la teoría de números, que se considera geométricamente como la longitud de un segmento de línea o el área de una región. Introdujo conceptos como números primos y números racionales e irracionales. Indica que hay infinitos números primos.

Los volúmenes undécimos a decimotercero tratan de las formas geométricas de los sólidos. Un resultado típico es que la relación de volumen de conos y cilindros con la misma altura y base es 1: 3. Construyó un sólido platónico.

Axioma

La geometría euclidiana es un sistema axiomático en el que todos los teoremas se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Antes del advenimiento de la geometría no euclidiana, estos axiomas se consideraban obviamente correctos en el mundo físico, por lo que todos los teoremas serán igualmente correctos. Sin embargo, no importa cuál sea la situación real, el razonamiento de Euclides desde la hipótesis hasta la conclusión sigue siendo válido.

Casi al comienzo del primer libro de "Elementos", Euclides dio cinco hipótesis sobre la geometría plana, expresadas en estructura:

# Dibuja una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.

# Producir continuamente una línea recta finita sobre una línea recta.

# Describe un círculo con cualquier centro y distancia.

# Todos los ángulos rectos son iguales.

# Si una línea recta cae sobre dos líneas rectas y el ángulo interior del mismo lado es menor que dos ángulos rectos, si dos líneas rectas aparecen indefinidamente, se encontrarán dos líneas rectas en el lado donde el ángulo es menor que las dos rectas. anglos.

Aunque Euclides solo confirmó explícitamente la existencia de los objetos construidos, asumió implícitamente que eran únicos en su razonamiento.

Los elementos también incluyen los siguientes cinco "conceptos comunes":

# Las cosas que son equivalentes a lo mismo también son equivalentes entre sí.

# Si es igual a igual a igual, entonces el número entero es igual a.

# Si el término igual se resta del término igual, la diferencia es igual.

#Los partidos son iguales entre sí.

# El todo es más grande que la parte.

Los estudiosos modernos están de acuerdo en que la hipótesis de Euclides no puede proporcionar todos los principios necesarios para la exposición de Euclides. Las terapias modernas utilizan un conjunto de axiomas más amplio y completo.

Hipótesis paralela

Para los antiguos, la hipótesis del paralelismo no parece ser más obvia que las otras hipótesis. Están ansiosos por establecer un sistema de proposiciones absolutamente cierto y, en su opinión, supuestos similares requieren pruebas de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal demostración es imposible, porque se puede construir un sistema geométrico consistente en el que la suposición de paralelismo es verdadera y las otras incorrectas. El mismo Euclides parece pensar que es diferente en calidad de otros métodos, como muestra la organización de "Elementos": sus primeras 28 proposiciones pueden probarse sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que son lógicamente equivalentes a la hipótesis paralela. Por ejemplo, el axioma de Playfair dice que la cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita porque se puede ver en los axiomas restantes que hay al menos una línea paralela.

Método de demostración

La geometría euclidiana es útil. Los supuestos 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y unicidad de ciertas figuras geométricas, y estos enunciados son esencialmente constructivos: es decir, no solo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también nos proporcionan sus métodos de creación. No hay nada más que una brújula y una regla sin marcar. En este sentido, la geometría euclidiana es más específica que muchos sistemas de axiomas modernos (como la teoría de conjuntos), que suelen afirmar la existencia de objetos en lugar de como construirlos, e incluso afirman que los objetos que no se pueden construir en la teoría existen. Estrictamente hablando, las líneas sobre papel son modelos de objetos definidos en el sistema formal, no instancias de estos objetos. Por ejemplo, una línea euclidiana no tiene ancho, pero cualquier línea sólida dibujada tendrá un ancho. Aunque casi todos los matemáticos modernos creen que los métodos no constructivos son tan robustos como los métodos constructivos, las demostraciones constructivas de Euclides a menudo reemplazan las demostraciones no constructivas falsas; por ejemplo, algunas demostraciones de Pitágoras involucran números irracionales, y normalmente se requiere una declaración como esta: "Encuentra la mayor medida común de ..."

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