Geometría Euclidiana

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Geometría Euclidiana.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las características del plano y el espacio tridimensional. Cuando estudiamos la  geometría euclidiana hablamos de conceptos como punto, la recta, superficie, por medio de comparación de ángulos y superficies.

Este sistema geométrico fue desarrollado por Euclides en su muy conocido libro Elementos en donde menciona cinco postulados:

1. Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.
3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

A continuación se muestran ejemplos con representación gráfica de dichos enunciados.

1. Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

En este grafico vemos que tenemos dos puntos fijados por una recta que los une, el punto A que se encuentra en las coordenadas (-3,1) y el punto B con coordenadas (1,-2).

Se puede apreciar que la longitud del punto A al B es de 5; esto lo comprobamos más abajo con la siguiente formula: d=   √(X2-X1) ² + (Y2-Y1)²

Por ultimo vemos también la pendiente que podemos obtener con la siguiente formula:  [pic 3]

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Para terminar sustituimos los datos en las formulas correspondientes:

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1. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

Podemos observar que en este segmento de recta tenemos los puntos A y B que intersectan en las coordenadas (-2,-4) y (6,4).

En este ejemplo vamos a obtener la ecuación general de la recta dados dos puntos.

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Aquí las operaciones:[pic 7]

1. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.[pic 8]

Trace una circunferencia (centro, punto) en el puntomedio de (A, B) con una circunferencia de (C, B), trace una circunferencia (centro, radio) del punto C con radio de 3, una circunferencia del punto B con radio de 2 y una circunferencia del punto A con radio de 2.

1. Todos los ángulos rectos son iguales

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Dos retas perpendiculares se cruzan en un punto específico dando como resultado ángulos rectos formados por el cruce de las rectas. Estos ángulos rectos son de 90°.

1. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos

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Se trazaron dos rectas iniciales, después se trazó una recta más que cortara a las dos primeras formando un conjunto de ángulos internos y externos. Las dos rectas iniciales se cortaron en el punto donde fueron interceptadas del lado en el que se encontraban los ángulos internos cuya sumatoria es menor a dos ángulos rectos.

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