Geometría Euclidiana

GEOMETRÍA EUCLIDIANA.

La geometría Euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º Postulado de Euclides.

La historia del progreso de la mayoría de las teorías matemáticas ha pasado por tres grandes etapas o estadios. Particularmente la geometría es una de las más antiguas y es la que tiene mejor definidas dichas etapas:

• 1º ETAPA: Del siglo XXX a. C. al III a. C.

En ésta etapa el criterio de prueba o demostración era fundamentalmente empírico. En el siglo VI a. C. Thales de Mileto inició la geometría demostrativa. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento. En el siglo III a. C. Euclides recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época. Usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos como recta, punto, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados.

Ésta geometría llamada Euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º Postulado de Euclides:

“Por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella”

Su complejidad técnica atrajo la atención de grandes matemáticos por tratar de demostrarlo y así surge la segunda etapa.

• 2º ETAPA: Cubre un período de 22 siglos, del III a. C. al XIX d. C.

Es precisamente en donde se hacen reiterados esfuerzos por tratar de demostrar el V postulado (Sacheri 1667- 1733, Lambert 1728- 1777).

A principios del siglo XIX el problema no tenía todavía solución y condujo a algunos matemáticos a pensar que antes de seguir con los intentos de demostración había que preguntarse si era en realidad demostrable.

Gauss (1777- 1885, Alemán) y Bolyai (1802- 1860, Hungría) fueron los primeros en anticipar una geometría no Euclidiana.

Nacen la Geometría Hiperbólica (Nicolai Lobachevsky 1793- 1856), Rusia y la Geometría Elíptica (Georg Riemann, 1826- 1866, Alemania).

• 3º ETAPA: Alrededor del año 1870.

Se difunden los trabajos de Gauss, Lobachevsky y Riemann, y se vinculan esas geometrías con otras como por ejemplo la Geometría Proyectiva.

David Hilbert (1862- 1943) recopiló todo el proceso de crítica y perfeccionamiento de la obra de Euclides.

Ésta es la última etapa de la evolución de la “geometría euclidiana” y principios de lo que serán “otras geometrías” que se basan en la negación del V postulado de Euclides, si bien conservan los restantes.

Biografía de Euclides.

A Euclides se lo conoce como el padre de la Geometría y es uno de los matemáticos famosos de todos los tiempos, pero poco se sabe con certeza de la vida de Euclides.

Según el testimonio de Proclo, filósofo neoplatónico griego, uno de los últimos grandes filósofos clásicos, Euclides fue un sabio Alejandrino que vivió hacia el año 300 a. C. que publicó numerosas obras científicas destacándose entre ellas los célebres “Elementos”. Puede ubicarse a Euclides como posterior a Platón (428 – 348 a. C) y a sus discípulos como Aristóteles (384 – 322 a. C) pero anterior a Eratóstenes (280 – 192 a. C) y a Arquímedes (287 – 212 a. C) que ya mencionaban a Euclides.

Si bien Euclides no hace descubrimientos muy originales, si recopila y ordena el trabajo matemático de sus predecesores y es responsable de algunas notables aportaciones para el desarrollo de los matemáticos en los “Elementos”.

Por ejemplo sustituye lo visual por proposiciones lógicas, esto es, ayuda a definir o caracterizar mejor cada uno de los casos analizados. También es el primero en utilizar de manera sistemática la reducción al absurdo en las proposiciones recíprocas.

Vinculado con la Biblioteca de Alejandría, Euclides propone en los Elementos un sistema de estudio, el modelo axiomático deductivo, que da veracidad a 5 proposiciones intuitivamente claras; a partir de ellas Euclides deduce el resto de los resultados para construir toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta aquel entonces.

Los “Elementos de Euclides”

La principal obra de Euclides, “Elementos”, es el libro más estudiado de la historia, el más antiguo y extenso que nos haya llegado con una integridad casi perfecta. Es una verdadera reflexión teórica de y sobre matemáticas.

Ésta obra es importante por la sistematización, el orden y la argumentación con la que está constituida.

Euclides recopila los conocimientos geométrico – matemáticos de su época y los ordena por temas.

Su organización y claridad inspiraron el tratamiento axiomático – deductivo no sólo de otras áreas de las matemáticas, sino de todas las demás ciencias.

Los elementos están divididos en trece libros, los cuales tratan sobre la geometría plana elemental, teoría de números, los inconmensurables y geometría de sólidos.

Incluyen 132 definiciones, 5 axiomas (nociones comunes), 5 postulados y 465 proposiciones.

Libro I: Los fundamentos de la Geometría. Teoría de los triángulos, paralelas y el área.

Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del Teorema de Pitágoras y su inverso.

Definiciones ( 23 ) Postulados ( 5 ) Nociones comunes ( 5 ) Proposiciones ( 48 )

Libro II: Álgebra geométrica

Trata de las transformaciones de áreas y álgebra geométrica griega de la Escuela Pitagórica. Se establecen las equivalencias geométricas de diferentes identidades algebraicas y una generalización del Teorema de Pitágoras.

Definiciones (2) Proposiciones (14)

Libro III: Teoría de la circunferencia

Este volumen trata de aquellos Teoremas relativos a la circunferencia, las cuerdas, las tangentes y la medición de ángulos. Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones, 5 de las cuales son problemas y las otras teoremas.

Definiciones (11) Proposiciones (37)

Libro IV: Figuras inscritas y circunscritas

Este volumen contempla las construcciones pitagóricas, con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones que son todos problemas. Se estudian inscripciones y circunscripciones de figuras rectilíneas y círculos, y se ofrece la construcción de polígonos regulares, como el pentágono y el hexágono con el método de la duplicación de lados.

Definiciones

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