CONCEPTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA

CONCEPTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA

AXIOMA: Un axioma es una proposición que se considera evidente y se acepta sin requerir demostración alguna. En un sistema hipotético es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico.

En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse obvia, se acepta sin demostración, como punto de inicio para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas afirmaciones, porque permiten deducir las otras fórmulas.

Ejemplo 1

En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes:

1.

2.

3. ,

Donde , , y pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.

Cada uno de estos patrones es un ejemplo de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entonces y son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.

Ejemplo 2

Sea un lenguaje de primer orden. Para cada variable la fórmula es universalmente válida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmula puede considerarse axioma. Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de nociones primitivas, primero se necesita una idea de lo que se desea hacer entender mediante , o definir un uso puramente formal, del símbolo . De hecho sucede esto en Lógica matemática.

Otro ejemplo interesante es el de instanciación universal, mediante el cuantificador universal. Para una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término sustituible por en , la fórmula es válida universalmente.

POSTULADO: Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los Elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos.

Los postulados de Los Elementos son:

1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

DEFINICION: En matemática, definición, es determinar, o sea, indicar, el límite que separa un objeto de todos los demás. Los pilares estructurales de la matemática son: la definición, el teorema y la demostración matemática. Las definiciones muestran con precisión los conceptos de importancia en la teoría, los teoremas o proposiciones, expresan exactamente lo que hay de verdadero en esos conceptos y las demostraciones muestran, la verdad de esas afirmaciones.

Los objetos matemáticos existen mediante definiciones: Por ejemplo, un número puede ser un natural y se llama número compuesto o número primo, siempre que cumpla condiciones específicas. Estas condiciones específicas son la definición del concepto.

Las definiciones al igual que las conjeturas, axiomas, postulados y teoremas entre otros conceptos matemáticos pueden enunciarse en un lenguaje común o en un lenguaje formal.

TEOREMA: Un teorema es una proposición que afirma una verdad conclusa, En matemáticas, es toda a aquel que partiendo de un supuesto hipótesis, afirma una verdad tesis no evidente por sí misma.

Un teorema en general posee un número de premisas que deben ser enumeradas. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas, el contenido informativo del texto o teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

Ejemplos

Un teorema es la afirmación que puede ser mostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto central en la matemática.

Si dos ángulos son suplementarios a un mismo ángulo, entonces ellos son congruentes.

Si dos ángulos son suplementarios a dos ángulos congruentes, entonces los dos ángulos son congruentes entre sí.

Si dos ángulos son ángulos rectos, entonces son ángulos congruentes.

HIPOTESIS: En lógica matemática una hipótesis es una fórmula de la que se parte para alcanzar finalmente otra fórmula mediante una deducción. Es decir, las hipótesis son el conjunto de afirmaciones que son agregadas al conjunto de axiomas, para determinar si la fórmula es válida del conjunto formado por axiomas o hipótesis mediante la aplicación de reglas. Cuando una fórmula A se sigue deduciendo de un conjunto de hipótesis H1,..., H n, en un sistema de axiomas y reglas de inferencia S, escribimos:

Un teorema es una fórmula que se sigue de los axiomas sin hipótesis adicionales, lo cual se escribe formalmente:

O simplemente:

TESIS: Una tesis, es el inicio de un texto argumentativo, una afirmación ha sido, demostrada o justificada de alguna manera. Generalmente anuncia una proposición científica, un axioma o un hecho valido.

Derivada del método científico, una tesis es una idea concreta que, de manera fundamentada, se expone públicamente, también puede llamársele teoría científica.

EJEMPLO:

Hipótesis. (H,+) es un subgrupo de (G,+)

Tesis: Para todo x, y de H, x-y pertenece a H.

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Hipótesis. Sean A la matriz de un sistema lineal y A' la ampliada y sea rango(A)=rango(A')

Tesis: el sistema tiene solución.

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Hipótesis: n es natural

Tesis: n(n+1)(n+2) es múltiplo de 6.

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Hipótesis: Sean h y h' homotecias concéntricas de `razones k, k'

Tesis h•h' es una homotecia concéntrica de razón kk'.

COROLARIO: Un corolario es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para dar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de hacer esfuerzo extra en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan obvia que no necesita demostración.

Ejemplos:

Corolario: Es una proposición cuya validez se desprende la validez de un teorema y, donde su demostración requiere de un ligero razonamiento y en ocasiones de ninguno. Ejemplo: Del

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