Teorema De Geometria Plana

Teoremas de geometría plana

El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier triángulo rectángulo. El teorema de Tales se aplica a cualquier figura que tenga líneas rectas paralelas cortadas por dos rectas secantes. Para resolver cualquier problema de geometría plana, tenemos que asociarlo con una figura elemental y basarnos en sus propiedades.

I. Propiedades de un triángulo rectángulo

Para hallar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras, que establece que: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Por ejemplo, en el triángulo rectángulo con ángulo recto en el vértice A: BC2 = AB2 + AC2.

Recíprocamente, si queremos demostrar que el triángulo es rectángulo con ángulo recto en el vértice A, comprobamos que se cumple la relación entre sus lados: BC2 = AB2 + AC2.

Para relacionar los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, usamos las siguientes fórmulas trigonométricas:

También nos debe resultar familiar la relación .

Una última propiedad que debemos considerar es que para un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia:

el centro de la circunferencia es el punto medio de la hipotenusa. Por tanto, para demostrar que un triángulo es rectángulo, basta con probar que se puede inscribir en una semicircunferencia.

II. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por una secante

En la figura siguiente, las rectas d y d' y la secante s forman:

—pares de ángulos correspondientes, cuyos lados son rectas paralelas, por ejemplo, el par de ángulos de azul;

—pares de ángulos alternos internos, dispuestos entre las dos rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de naranja;

—pares de ángulos alternos externos, dispuestos hacia el exterior de las rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de verde.

Puesto que las rectas d y d' son paralelas, cada uno de estos pares de ángulos son iguales. Así, los ángulos correspondientes (de azul) tienen la misma amplitud , los ángulos alternos internos (de naranja) tienen la misma amplitud y los alternos externos (de verde) tienen la misma amplitud .

Recíprocamente también se cumple este razonamiento: si los pares de ángulos correspondientes formados por dos rectas d y d' y una secante s son iguales, entonces las rectas d y d' son paralelas.

III. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por dos secantes

En las dos figuras siguientes podemos aplicar el teorema de Tales.

Sean d y d' dos secantes que se cortan en el punto A. Sean B y M dos puntos de la recta d diferentes de A, y sean C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A.

Si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple que: .

Recíprocamente, si los puntos A, M y B están alineados en el mismo orden que los puntos A, N y C, y si , entonces las rectas BC y MN son paralelas.

IV. Propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia

En la figura siguiente, los ángulos , y son ángulos inscritos en la circunferencia de centro O ya que sus vértices están sobre ella y sus lados la cortan. Los ángulos y forman el arco AB que pasa por el punto J, mientras que el ángulo forma el arco AB que pasa por el punto I. Al ángulo se le llama ángulo central.

Recuerda la siguiente propiedad: ángulos inscritos en la misma circunferencia que determinan el mismo arco tienen la misma amplitud, son iguales. En la figura anterior, estos ángulos son y . Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco (en la figura anterior, este es el ángulo ). Debemos tener cuidado porque los ángulos y no tienen el mismo tamaño (esos dos ángulos no forman el mismo arco AB, aunque los puntos de corte con la circunferencia sean A y B).

Recuerda

—El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

—Rectas paralelas y una secante forman ángulos correspondientes iguales, y alternos internos y externos también iguales.

—De acuerdo con el teorema de Tales, si d y d' son dos rectas secantes que se cortan en A, siendo B y M dos puntos de la recta d distintos de A, y siendo C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A, y si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple: .

—Ángulos inscritos en la misma circunferencia que forman el mismo arco son iguales. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco.

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Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales

René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, desarrolló el método para resolver un problema de geometría sustituyéndolo por un problema de cálculo numérico, utilizando las llamadas ecuaciones cartesianas.

¿Cómo determinar la ecuación de una recta? ¿De qué manera nos ayuda la ecuación de una recta a resolver problemas de paralelismo o de ortogonalidad? En este tutorial desarrollaremos estas dos cuestiones.

También veremos que un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se puede interpretar mediante las ecuaciones de dos rectas. Las coordenadas del punto de corte de estas dos rectas son la solución de este sistema.

I. Determinar la ecuación de una recta

Sean A(xA, yA) y B(xB, yB) dos puntos dados en un sistema de coordenadas cartesianas xy. Para determinar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos (la recta AB) hemos de hallar la condición necesaria y suficiente para que un punto cualquiera M(x, y) esté alineado con A y B: esta condición supone que los vectores y deben tener la misma dirección, es decir, deben ser colineales.

Las coordenadas del vector son (xB - xA, yB - yA), y las coordenadas del vector son (x - xA, y - yA). Para que dichos vectores sean colineales, se debe cumplir que: (x - xA)(yB - yA) = (y - yA)(xB - xA).

Se dan los dos casos siguientes:

—si los puntos A y B tienen el mismo valor de la abscisa, k, entonces xB - xA = 0, y la ecuación de la recta AB es x = k, que es una recta paralela al eje de ordenadas (eje y);

—si xB - xA

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