Geometria Plana

GEOMETRÍA PLANA

Ángulos, Rectas, Áreas y Perímetros

INTRODUCCIÓN

La Geometría es una de las disciplinas científicas más antiguas que existen. Se ocupa de estudiar las propiedades de los objetos atendiendo a su forma, tamaño y posición.

Aunque actualmente abarca un enorme campo de estudio, en esta unidad nos centraremos en estudiar los elementos fundamentales de la Geometría Plana, como son los puntos, rectas, ángulos, áreas y perímetros.

Y para ello echaremos mano de una herramienta importantísima en el desarrollo de esta disciplina, como es el Plano Cartesiano, que consiste en la representación gráfica de un plano en el que aparecen de manera destacada dos rectas graduadas y perpendiculares entre sí, que se llamarán ejes de coordenadas o también ejes cartesianos en honor de René Descartes, uno de los más grandes científicos de la historia y de los primeros en utilizar esta representación.

OBJETIVOS

• Conocer el plano y sus elementos principales.

• Conocer el sistema cartesiano de coordenadas.

• Identificar puntos en el plano y saber cuándo están alineados.

• Conocer la recta, sus ecuaciones y sus posiciones relativas.

• Conocer el concepto de ángulo y su medida.

• Descubrir el concepto de radián.

• Dominar la conversion entre las unidades angulares (grados y radianes).

• Dominar las operaciones angulares.

• Conocer los elementos de un triángulo.

• Aprender a clasificar los triángulos por sus lados y por sus ángulos.

• Comprender y utilizar las fórmulas de cálculo del área de las principales figuras planas.

• Comprender y utilizar las fórmulas de cálculo del perímetro de las principales figuras planas.

3. Geometría plana

La geometría plana estudia las fi…guras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho.

Para comprender la geometría plana de manera mas clara, es indispensable, comenzar por la de…finición de conceptos elementales hasta llegar a nociones más complejas.

3.1 Conceptos básicos de geometría

Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la geometría.

Punto es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas.

Ejemplo: Tres puntos

Recta tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto in…finito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede representar por:

Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superfi…cie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos in…finitos en dos dimensiones.

3.2 Polígonos

Un polígono es una fi…gura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono solo se intersectan en sus puntos extremos. Los polígonos se nombran de acuerdo al número de lados que están formados.

Triángulo: polígono de 3 lados

Cuádrilatero: polígono de 4 lados

Pentagono: polígono de 5 lados

Hexágono: polígono de 6 lados

Heptágono: polígono de 7 lados Octágono: polígono de 8 lados

Nonágono: polígono de 9 lados

Decágono: polígono de 10 lados

Dodecágono: polígono de 12 lados

n - ágono: polígono de n lados

Ejemplos de polígonos:

Las partes de un polígono son:

Vértices: puntos …finales de los segmentos que forma el polígono, en la fi…gura: A, B, C, D, E.

Lados: segmentos de recta que unen dos vértices consecutivos del polígono, en la fi…gura los lados son: AB,

Lados consecutivos: cualquier par de lados que comparten un vértice, en la …figura: AB y BC, BC y CD,

Diagonal: un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos, en la …figura: AC.

3.3 Perímetro y áreas de polígonos

El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de cada uno de los lados. Las unidades para el perímetro representan longitud o distancia, y son singulares por que tiene una sola dimensión. Las unidades de longitud son: pulgadas, pies, millas, centímetros, metros, kilometros, etc.

El área de un polígono es la medida interna en dos dimensiones de su super…ficie plana. Las unidades de área representan dos dimensiones y son cuadradas y son: pies cuadrados (pies 2 ), metros cuadrados (m 2 ) unidades especiales como cuerdas, para medir las superfi…cies de las …fincas, etc.

A continuación se discuten el perímetro y área de algunos polígonos especiales:

3.3.1 Triángulo

Un triángulo es un polígono que es una porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos y que tiene tres lados y tres ángulos.

Altura es la perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación, en la …figura anterior es el segmento DA.

Clasificación de triángulos:

Isósceles el que tiene dos lados iguales y las medidas de los ángulos a los lados opuestos son iguales.

Equilátero el que tiene sus tres lados iguales y las medidas de los ángulos son iguales .

Escaleno el que tiene sus tres lados diferentes y las medidas de los ángulos son diferentes.

AB= CA AB= BC=CA AB≠BC≠CA

Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto cuya medida es de 90 grados: Un cateto es la base y el otro es la altura en el cálculo del área del triángulo.

Teorema La suma de los ángulos interiores de un triángulo valen dos ángulos rectos.

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados, es decir:

P=AB+BC+ CA

donde AB,BC y CA representan la longitud de los lados AB, BC y CA, respectivamente.

El área de un triángulo se defi…ne como la mitad del producto de la longitud de la base por la longitud de la altura, es decir:

A = 1 2 BC ×DA

donde BC y DA representan la longitud de la base BC y la longitud de la altura DA, respectivamente.

Ejemplos:

1. Considere los siguientes triángulos para determinar el

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