Geometría Métrica Plana

Geometría Métrica Plana

Ejercicios Resueltos –

Dada la ecuación de la recta: (2x-4)/8=(y+3)/(-2)

Halla un vector director de la recta y un punto por el que pasa.

Expresa la ecuación en forma general

Expresa la ecuación en forma punto pendiente

Expresa la ecuación en forma explícita

Primero reducimos la ecuación a: (x-2)/4=(y+3)/(-2)

Como en esta ecuación los denominadores corresponden con ux y uy:

ux = 4

uy = -2

Vector director (u): (4, -2)

Como en esta ecuación los términos independientes del numerador coinciden con x0, y0:

Punto por el que pasa (A): (2, -3)

Forma general: -2(x-2)-4(y+3)

Punto pendiente:

Explícita

Dada la ecuación de la recta 2x+y-4=0

Expresa la ecuación en forma explícita

Expresa la ecuación en forma punto pendiente

Expresa la ecuación en forma continua

Primero deberemos hallar un v. director y un p. pasa

Vector director (u): (-1, 2)

Punto por el que pasa (A): (2, -3)

Forma explícita:

Sustituyendo:

Punto Pendiente:

Continua:

3. Dado el triangulo de vértices A (1,1), B (3,5) y C (5,2), se pide:

a) Dar en forma continua las ecuaciones de la recta que contienen a los lados.

b) Dar en forma general o implícita la altura sobre el lado “a”.

c) Expresar en forma paramétrica la mediana sobre el lado “b”.

d) Dar en forma punto pendiente la mediatriz del lado “c”.

Ecuación Lado a

Punto por el que pasa B (3,5)

Vector director = (5-3,2-5) = (2,-3)

(x-x_0)/u_x =(y-y_0)/u_y → (x-3)/2=(y-5)/(-3)

Ecuación Lado b

Punto por el que pasa A (1,1)

Vector director = (5-1,2-1) = (4,1)

(x-x_0)/u_x =(y-y_0)/u_y → (x-1)/4=(y-1)/1

Ecuación Lado c

Punto por el que pasa A (1,1)

Vector director = (3-1,5-1) = (2,4) = (1,2)

(x-x_0)/u_x =(y-y_0)/u_y → (x-1)/1=(y-1)/2

Altura sobre el lado a

Vector director PARA CONSEGUIR UN VECTOR PERPENDICULAR A UNO DADO, COMO SU PRODUCTO ESCALAR DEBE SER CERO, INTERCAMBIAMOS LAS COMPONENTES Y EL SIGNO A UNA DE ELLAS.

= (2,-3) = ( 3,2)

Punto por el que pasa A (1,1) (x-1)/3=(y-1)/2→ 2x-2=3y-3

2x-3y+1=0

c) Mediana sobre “b”

M.p.m ; M =((1+5)/2,(1+2)/2) = ( 3 , 3/2 )

Vector director = (3-3,(5-3)/2)=(0,7/2)

Punto por el que pasa (3,5)

x = x0 + λux x = 3

y = y0 + λuY y = (5+7)/2λ

Mediatriz lado “c”

Pm m = (2,3)

Vector director

(-2,1) Punto por el que pasa m (2,3)

M = pendiente u_y/u_x ⇒ - 1/2

y - y0 = m (x - x0) ⇒ y - 3 = -1/(2 ) (x-2)

En el problema anterior explica razonadamente como se podría calcular el área de un triángulo, calcular el otrocentro y el centro de gravedad del triangulo

Formamos un sistema con la ecuación de la recta que contiene la altura y con la ecuación de la recta con lado A, la solución del sistema nos da P.

 

Altura │AP│

Base | BC | y el área es base por altura partido por dos.

Ortocentro: Para calcularlo como ya tenemos la ecuación de la altura sobre el lado A, calculamos la altura del lado B, la resolución del sistema formado por ambas ecuaciones dará el ortocentro.

Vector director

Pasa por B (3,5)

 4x-12=-y+5  4x+y-17=0

Para calcular el centro de gravedad, la mediana sobre b ya la conocemos , trazamos otra mediana, hacemos por ejemplo la mediana sobre sobre C. La intersección es el baricentro.

Mediana sobre el lado c

Punto medio de BA (2,3)

Mc (x-2)/3=(y-3)/(-1) -> 5x-6y+1=0



Explicación. No hace falta más que darse cuenta de que si x es siempre 3 en una de las medianas, el baricentro tiene que tener de abcisa x = 3, por lo tanto sustituimos la x por 3 en 5x-6y+1= 0 y nos da y

G (3, )

Comprobación: El baricentro por ser el centro de gravedad del triángulo cumple que:

;

En nuestro caso:

Una recta x + 2y = 9 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por

coordenadas(2,1). Halla las coordenadas del otro extremo B:

El vector n ⃗ ┴ r tendrá de componentes (AB) → (1,2)

Dicho vector es el director de la recta que pasa por A y por B.

Conocemos n ⃗ y un punto por el que pasa A (2,1), calculamos la ecuación de dicha recta; la intersección de dicha recta con la recta r da el punto M que es el punto medio del segmento (AB) ̅

Conocido M y A, por las coordenadas del punto medio de un segmento se calcula B:

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Vector director u ⃗ (1,2)

Punto por el que pasa A (2,1)

Ecuación de la recta: (x-2)/1=(y-1)/2→2x-4=y-1→2x-y-3=0

Intersección con r:

{█(x+2y-9=0@2x-y-3=0)┤→M(3,3)

M_x=(A_x+B_x)/2→3= (2+B_x)/2→B_x=4

M_y=(A_y+B_y)/2→3= (1+B_y)/2→B_y=5

B (4,5)

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento interceptado por los ejes coordenados en la recta de ecuación r≡4x+3y=24

y=(24-4x)/3

Para x = 0 → y = 8

Para y = 0 → x = 6

Ecuación de la mediatriz:

Punto por el que pasa: punto medio de (AB) ̅ → m=((0+6)/2,(8+0)/2)=(3,4)

Vector director u ⃗ = n ⃗ ; n ⃗┴ r ; n ⃗ (4,3) →u ⃗ (4,3)

(x-3)/4=(y-4)/3→3x-9=4y-16→3x-4y+7=0

Dados los puntos A (1,1) y B (3,2) y la recta r = x – y + 5 = 0 se pide:

Simetría de A respecto de B

Simetría de B respecto de r

Ecuación de la recta S simétrica de la que pasa por AB respecto de r

Simétrico de A respecto de B

Bx = (Ax+A'x)/2 = (1+A´x)/2= 3 Solución: A´x =5

By =(Ay+A´y)/2 =(1+A´y)/2=2 Solución: A’y = 3

Simetría

...