Teoremas de circunferencias - geometria en el plano

UNIDAD II

2.      Circunferencia

Def.:  Circunferencia  es  el  lugar  geométrico  de  los  puntos  de  un  plano  que equidistan de un punto fijo llamado centr

Def.: Radio  de  una  circunferencia  es segmento que une el centro de circunferencia con un punto cualquiera ella. Radio r = OA   . (Fig. 31).[pic 2]

Def.: Cuerda de una circunferencia es segmento que une dos puntos de circunferencia.  Cuerda DE . (Fig. 31).[pic 3]

Def.:  Secante  es una  recta  que  pasa  por d puntos de la circunferencia.  FG . (Fig. 31)[pic 4]

Def.:   Diámetro es una cuerda que pasa por el

cuerda máxima de la circunferencia d = BC . (Fig. 31).

C

Fig. 31

Def.:   Arco es cualquier porción de la circunferencia  considerada aisladamente,[pic 5]

arc. AC; Arco,  AC

(Fig. 31).

Def.:   Círculo es la superficie o parte del plano encerrada por la circunferencia. (Fig. 31).

Def.:   Sector circular: parte de un círculo comprendida entre un arco y dos radios

que terminan en sus extremos,[pic 6]

BOT

,   (Fig. 31).

[pic 7][pic 8]

o O. (Fig. 31).

el la de

el la

os

.

centro de la circunferencia, o es la

Def.:  Segmento circular parte del circulo comprendido entre una cuerda y el arco correspondiente,. seg. DIE.  (Fig. 31).

Def.:   Ángulo del centro es el ángulo formado por dos radios y su vértice es el centro de la circunferencia.  ∠AOT ,  (Fig.: 31).

Teorema 45:   Todo diámetro es un eje de simetría de la circunferencia.

Teorema 46:    El diámetro es la cuerda mas grande de la circunferencia.

Nota:   Todo diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales.

2.1       Posición de un punto con respecto a una circunferencia

Sea un punto  M  que se desplaza sobre muestra la figura. Fig. 32 )

a)        Es un punto interior de la circunfer distancia  al  centro,  OM1,  es  men radio.

b)        Es   un  punto  de  la  circunferen distancia al centro, OM2 , es igual al

c)        Es un punto exterior   de la circunf su distancia al centro, OM3, es ma radio.

Fig. 32

Propiedades.

1)        En una misma circunferencia todos  los radios, lo mismo los diámetros son iguales en medida.

2)       Dos círculos que tienen el mismo radio son iguales y recíprocamente.

3)        Una recta no puede intersectar a una circunferencia en más de dos puntos.

Def.:  Se llama distancia de un punto P a una circunferencia de centro O, a la distancia de un punto P a un punto de la circunferencia más cercano a P.

Observación: La distancia máxima o mínima de un punto P a una circunferencia son las distancias de este punto a los extremos de un diámetro.

2.2     Problema 1.

Por dos puntos A y B se  pueden hacer pasar infinitas circunferencias, determine el lugar geométrico de los centros de estas circunferencias.

Problema 2.

Construir la circunferencia que pasa por tres puntos dados que no están en línea recta

Corolario:  a)   Por tres puntos no colineales puede pasar una circunferencia y solo una.

b)   Dos circunferencias no pueden cortarse en más de dos puntos.

2.3     Propiedades de la tangente a una circunferencia. Def.: Tangente es la recta que tiene un solo punto en común

con la circunferencia.  AB tangente. (Fig. 33).[pic 9]

Una tangente se puede considerar como la posición límite de una secante  TE , que gira alrededor de T, de modo que el punto E se aproxime al punto T, hasta confundirse con él.[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

una semirrecta que parte de O. (como encia si su

or  que  el

cia   si  su radio. erencia si yor que el

Fig.

Teorema 47:   Toda tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto. Hip.    MN es tangente en T

Tesis: MN ⊥ OT[pic 15][pic 16]

Dem. 1:

Si se traslada  AB  paralelamente a si misma, de modo que aumente su distancia al centro se  va haciendo menor la cuerda AB[pic 17][pic 18]

hasta que AB ocupe el lugar de MN[pic 19][pic 20]

entonces los puntos A,B y D  (Punto medio de AB )[pic 21]

coinciden con T

entonces la cuerda es perpendicular ya que une el

centro de la circunferencia con el punto medio. luego MN ⊥ OT

Dem. 2: (alternativa)

AB tangente , tiene un solo punto en común con[pic 22][pic 23]

OT

Es la menor distancia que hay entre O y AB . Cualquier otro trazo será mayor que OT[pic 24][pic 25]

Por ej. OD , por estar D fuera de la circunferencia no cumple con ser la menor.[pic 26]

Como OT es la menor distancia se tiene MN ⊥ OT .[pic 27][pic 28][pic 29]

Teorema 48: La perpendicular en el extremo de un radio es tangente a la circunferencia.

Fig. 34

Fig. 35

[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

to de contacto.

s extremos de un diámetro son

nto dado e en ese

mal es el l.

Corolarios:  1.   Por cada punto de una circunferencia se puede trazar una sola tangente.

2.        Todos los puntos de una tangente son exteriores a la circunferencia, menos el pun

3.                Las tangentes trazadas en lo paralelas.

Def.:   Se llama normal a una curva en un pu A de ella, la perpendicular a la tangent punto.

El punto A es el pie de la normal.

Si la curva es la circunferencia, la nor radio.

MN es la tangente  y  BOA   es la norma[pic 35][pic 36]

Fig. 36

19

2.4    Posiciones relativas  de dos circunferencias

Como   ya   sabemos   que   por   tres   puntos   puede   pasar   una   sola circunferencia.

2.4.1.    Dos circunferencias distintas a lo más pu tener dos puntos comunes,       si tuvieran puntos comunes se confundirían   en una s Dos circunferencias distintas pueden tener puntos comunes, se les deno circunferencias secantes. (fig. 37)

2.4.2.   Dos circunferencias distintas pueden tene denomina circunferencias tangentes. (Fig. 38)

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