Geometria Del Plano

FICHA TÉCNICA

TÍTULO DE LA UNIDAD: Geometría del plano.

NIVEL: 3º E.S.O.

BREVE DESCRIPCION Y OBJETIVOS GENERALES:

Representación gráfica de puntos y rectas. Posiciones relativas entre rectas. Visualización de la perpendicularidad en el plano y aplicación al cálculo de distancias entre rectas y entre puntos y rectas. Medida ángulos y realización de operaciones con dichas medidas. Estudio de la posición de puntos en el plano mediante coordenadas cartesianas. Valoración de la utilidad de la geometría para resolver situaciones relativas al entorno físico. Reconocer triángulos semejantes. Teoremas de Thales, de Pitágoras, del cateto y de la altura. Identificar los movimientos en el plano y aplicarlos a la construcción de figuras. Enumerar las condiciones que cumplen los triángulos homotéticos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Operaciones con números enteros, fracciones y raíces cuadradas. Elementos del triángulo y del rectángulo. Proporcionalidad. Uso de instrumentos de medida (regla, escuadra y cartabón, semicírculo para medir ángulos).

DURACION (sesiones de 55 minutos): Mínima: 10 Máxima: 12

MEDIOS:

Papel milimetrado, cartón o cartulina dura, regla, escuadra y cartabón, semicírculo (transportador de ángulos), calculadora.

DESCRIPCION DE UNA SESION TIPO:

La mayoría de las actividades de esta unidad son de descubrimiento. Se realizarán dos o tres actividades por sesión más una última de refuerzo. Así el trabajo de dicha sesión podría constar de tres o cuatro actividades por grupos y una puesta en común. Se estima en 80% para descubrimiento y 20% para el refuerzo.

EVALUACION: Tipo de centro: Instituto de Enseñanza Secundaria.

Entorno social: Población rural, predominando alumnos que cursarán F.P. por las posibilidades de trabajo que ofrece la zona.

Manzanares (Ciudad Real).

Profesor: Ildefonso Rodríguez Morales

Estimada: se basará en el dominio de conceptos y procedimientos referentes a los puntos descritos anteriormente en la introducción de la unidad y de los objetivos generales, así como en las actitudes observadas en el aula.

Experimental: se evaluará lo siguiente:

-Cuaderno del alumno.

-Pruebas escritas.

-Tareas para casa.

-Trabajo y participación en el aula.

PUNTO 1: PUNTOS Y RECTAS

En este apartado se hablará de la representación de puntos usando los ejes cartesianos, de la determinación de una recta y de las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

ACTIVIDAD 1.1

a) Dibujar unos ejes cartesianos y un punto A con coordenadas (1,2). ¿Cuántas rectas se pueden trazar por ese punto?

b) Dibujar otro punto B cualquiera y escribir sus coordenadas. ¿Cuántas rectas distintas puedes trazar que pasen por estos dos puntos?.

c) Usando los ejes cartesianos dibujar tres puntos de coordenadas (0,2), (1,4) y (3,1). ¿Cuántas rectas determinan?.

Meta:

Comprender el hecho de que dos puntos determinan una recta.

ACTIVIDAD 1.2

A. Dibujar dos rectas que cumplan las siguientes condiciones:

a) No tengan ningún punto en común

b) Tengan un punto en común

c) Tengan todos los puntos en común.

B. Usando unos ejes cartesianos se dibujan dos puntos A y B cuyas coordenadas pueden ser por ejemplo (1,3) y (5,6) respectivamente. ¿Cuántas rectas diferentes pueden pasar por esos dos puntos.

¿Y por los puntos de coordenadas (1,2), (3,2) y (5,2)?

Observaciones: Esta actividad pretende el estudio exhaustivo de las posiciones relativas de dos rectas en el plano. La parte B sirve para ilustrar el hecho de que las únicas posibilidades son las tres representadas en la parte A.

1.2.1 Actividad de matemática recreativa:

*Colocar 10 soldados en 5 filas de cuatro soldados cada uno.

Solución: Evidentemente, las filas de soldados definen rectas que han de ser secantes. Una buena estrategia es buscar figuras planas que puedan cumplir los requisitos pedidos (5 rectas con 10 puntos de intersección en total, distribuidos adecuadamente)

1.2.2 Actividad de matemática recreativa:

Tenemos seis monedas dispuestas como en la figura. Cambiando la posición de una sola moneda ¿se pueden formar dos filas que tengan 4 monedas cada una?

O O O O

O

O

Solución:

No es posible. Dada una fila de cuatro monedas, nos quedan otras dos para formar la segunda fila de cuatro monedas. Eso hace necesario que esta segunda fila comparta con la primera dos monedas. Pero (identificando las monedas con puntos de una recta) si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes. Así pues, las dos filas estarían sobre una misma recta, esto es, las 6 monedas estarían alineadas. Y esa construcción es imposible moviendo una sola moneda.

1.2.3 Actividad de matemática recreativa (la supermosca):

Dos trenes están enfrentados en una misma vía, separados uno de otro por una distancia de 100 km. En el frente de uno de los trenes está posada una supermosca. En determinado momento, los trenes empiezan a avanzar uno hacia el otro a una velocidad de 50 km/h. Simultáneamente la supermosca sale volando desde el tren en que está, en dirección al tren opuesto. Cuando llega al otro tren, da la vuelta y se dirige de nuevo al primero, repitiendo la operación hasta que los dos trenes chocan, aplastando a la supermosca. Si la supermosca vuela a una velocidad de 110 km/h, decir cuál es la suma de las distancias recorridas por ella hasta ser aplastada.

Solución:

Si los trenes están a una distancia de 100 km y viajan a la misma velocidad de 50 km/h uno hacia el otro, tardarán 1 hora en chocar y aplastar la supermosca. Luego ésta volará durante 1 hora a 110 km/h, recorriendo 110 km.

ACTIVIDAD 1.3

Traza la figura que se corresponde con la siguiente situación geométrica: l, m y n son tres rectas, A es un punto de l y m, B es un punto de m y n y las rectas l y n se cortan.

Meta: Aprender a usar el lenguaje geométrico y resolver situaciones en las que intervengan puntos y rectas.

PUNTO 2: ANGULOS EN EL PLANO. PERPENDICULARIDAD.

ACTIVIDAD 2.1

Dada la figura aparecida en la actividad 1.2.1:

Señalar dos ángulos que sean agudos y dos que sean obtusos.

Meta: Repasar los conceptos de ángulo agudo, recto y obtuso y el de bisectriz.

ACTIVIDAD 2.2

Completa el siguiente cuadro:

Â Ô Â+Ô Â-Ô

13º6’50’’ 2º1’20’’

6º38’8’’ 5º50’3’’

15º30’2’’ 10º50’10’’

7º 2º3’15’’

ACTIVIDAD 2.3

a) Calcula cuánto mide un ángulo cuya amplitud es el doble de la del ángulo de

15º52’30’’.

b) Si el ángulo  mide 3º45’4’’, ¿cuánto mide un ángulo 15 veces mayor?.

c) Realiza las siguientes divisiones:

*) 25º10’20’’:5=

*) 17º3’40’’:2=

d) Calcula (2º3’’)•10+(3º43’16’’)•7=

2.3.1 Actividad de matemática recreativa:

Un reloj peculiar:

12

11

2

9

4

12

2

8 8

6

Solución: los alumnos deben observar que el ángulo central que está comprendido entre dos horas consecutivas es de 30º. Además la aguja grande que en el reloj A marca las 12, gira 120º en cada paso; la grande que en A marca las 11 ha girado 300º en B, 270º en C, 240º en D; la pequeña gira 60º en cada movimiento.

Así el resultado será

10

9

4

ACTIVIDAD 2.4

Halla en cada caso un ángulo que cumpla la condición pedida:

-Igual a los 2/3 de un ángulo de 30º5’.

-Cuyos ¾ son 120º16’12’’.

-Menor en 10º15’6’’ a su suplementario.

-Igual al triple de su complementario.

ACTIVIDAD 2.5

a) Expresa en forma decimal (en grados): 30º15’; 62’45’’; 4º56’’ y 12º57’18’’.

b) Expresa en forma compleja (grados, minutos y segundos): 3,165º; 2,15º; 5,01º; 0,65º.

c) Expresa en forma compleja: 7645’’; 643’; 25325’; 43267’’.

ACTIVIDAD 2.6 (Perpendicularidad)

¿Cómo se halla la distancia entre un punto y una recta?¿Y entre dos rectas paralelas?

Meta. Relacionar la perpendicularidad y el cálculo de distancias.

2.6.1 Actividad de matemática recreativa

Un caracol se arrastra en línea recta con velocidad constante en un plano, girando un ángulo recto cada 15 minutos. Probar que cualquiera sea la ruta, para que el caracol vuelva a su punto de partida debe transcurrir un número entero de horas.

Solución:

El alumno debe observar:

a) Que todos los segmentos

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