NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

NUMEROS REALES

OBJETIVO.- 

 Dar a conocer al aluno el campo de los números reales, con lo que se va a trabajar en calculo I.

1. El Sistema de los números reales.

El conjunto de los números reales simbolizados por IR, comprende a los números racionales (Q) e irracionales (Q’), por tanto incluye a los positivos IR; negativos IR- el cero (0), enteros (Z), Fraccionarios (Z’) naturales(N).

El cálculo I, opera con los números reales, de amanera que todos los análisis a realizar se efectuarán con esta clase de números.

1. Propiedades de los IR

Son los siguientes: Si a, b, c, ε IR

A1        : a + b = b + a

A2        : a + (b+c) = (a+b)+c

A3        : a + 0 = a

A4        : a + (-a) = 0

A5        : a.b = b.a

A6        : a(b.c) = (a.b).c

A7        : a.1 = a

A8        : a(a-1) = 1

A9        : a (b+c) = ab+ac

A10        : a > 0 , b > 0 => a + b > 0

          A > 0 , b > 0 => a.b > 0

A 11        : a es positivo                (a > 0)[pic 1]

          a es cero                 (a = 0)                Ley de tricotomía

          a no es positivo        (a < 0)

Ejemplos:

Demostrar los siguientes teoremas de los números reales.

1. Si        a + c = b + c => a = b

Demostración:

a + c = b 6 c        Partiendo de la proposición original

(-c) = (-c)        Existencia del opuesto.

(a + c) + (-c) = (b+c) + (-c)        Sumando ambos miembros de la igualdad.

a + [c+(-c)] = b + [c+(-c)]        Asociatividad de la suma

        a + 0 = b + 0        Existencia del opuesto

                a = b        (Existencia del neutro aditivo)

l.q.q.d

1. Demostrar :        a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc , ∀a,b,c ε IR

(a-b)2 > 0 => a2 – 2ab + b2 ≥ 0 => a2 + b2 ≥ 2ab

(a-c)2 ≥ 0 => a2 – 2ac + c2 ≥  0 => a2 + c2 ≥ 2ac

(b-c)2 ≥ 0 => b2 – 2ac + c2 ≥  0 => b2 + c2 ≥ 2bc

                                              2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab+2ac+2bc/2

                                              a2 + b2 + c2 ≥  ab + ac + bc.

l.q.q.d.

PRACTICA

1) Demostrar        : a2 + b2 + c2 ≥  ab + ac + bc.        ∀ a, b, c ε IR

2) Demostrar        : a2 + b2 = 1;  c2 + d2 = 1        =>        ac + bd ≤ 1

3) Demostrar        : (a+b) (b+c) (a+c) ≥ 8 abc

Siendo a, b y c números positivos todos distintos.

4) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:

[pic 2]

INECUACIONES

Son ecuaciones que en lugar de un signo de igualdad, posee signos de desigualdad.

El procedimiento de resolución de inecuaciones, en general sigue los mismos pasos de las ecuaciones, la solución de una inecuación es uno o varios intervalos de números reales.

Las inecuaciones se clasifican en:

1. Inecuaciones lineales.
2. Inecuaciones cuadráticas, y grado mayor.

a) INECUACIONES LINEALES

Son aquellas que poseen incógnitas lineales (de grado 1). Para resolver inecuaciones lineales,  se aplican reglas equivalentes a las ecuaciones lineales, (se debe tomar en cuenta que al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad se invierte.

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