Propiedades De Los Numeros Reales

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Las propiedades de los números reales son axiomas que no requieren demostración, y forman un conjunto de reglas fundamentales para el fácil manejo algebraico, donde p,q y r son tres números reales cualesquiera y pertenecen al conjunto de los números reales.

Propiedades de la suma Propiedades de la multiplicación

De cerradura

p+q

La suma de dos reales es otro real. pq

El producto de dos reales es otro real .

Asociativa

(p+q)+r = p+(q+r) (pq)r=p(qr)

En ambos casos se afirma que la agrupación no tiene importancia y, consecuentemente, el resultado no cambia.

Conmutativa

p+q=q+p pq=qp

La propiedad conmutativa nos dice que en la suma y la multiplicación, el orden no interesa.

De identidad

p+0=0+p=p

El número cero es el único el único elemento que conserva la identidad en la operación de suma p.1=1.p=p

El numero uno es el único elemento que conserva la identidad en la operación de multiplicación

Elemento inverso

p+(-p)=0

Para todo numero p existe otro numero –p llamado inverso (opuesto)aditivo, que cumple lo expuesto. p.1/p=1

Para todo numero p (exepto 0) existe otro numero 1/p llamado inverso (reciproco)multiplicativo, que cumple lo expuesto.

Distributiva

p(q+r)=pq+pr

En esta propiedad la multiplicación distribuye a la suma tal como se indica en la expresión, y puede extenderse varios números reales dentro del paréntesis.

Propiedad de la cerradura

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad asociativa

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad conmutativa

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad de identidad (elemento neutro)

, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

el inverso aditivo para esta suma es el número

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

Propiedad distributiva

AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES

(A1) La suma y la multiplicación o multiplicación de dos números reales x e y da como resultado un real.

x+y es un real,

x•y es un real

(A2) Los reales cumplen la ley conmutativa con la suma y el producto.

x+y=y+x

x•y=y•x

(A3) Los reales cumplen la ley asociativa con la suma y el producto.

x+(y+z)=(x+y)+z

x•(y•z)=(x•y)•z

(A4) Los reales cumplen la ley distributiva con la suma y el producto.

x•(y+z)=x•y+x•z

(x+y)•z=x•z+y•z

(A5) Para toda x real, existe un elemento 0 real llamado neutro aditivo tal que:

x+0=0+x=x

(A6) Para cada x real, existe un inverso aditivo (-x) real tal que.

x+(-x)=(-x)+x=0

(A7) Para toda x real diferente de cero, existe un elemento real 1llamado neutro multiplicativo tal que:

x•1 = 1•x = x

(A8) Para cada real x diferente de cero, existe un inverso multiplicativo real (1/x) tal que:

x•(1/x)=(1/x)•x=1

Axiomas De Orden

(A9) Para x, y postivos se tiene que z= x+y es positivo.

(A10) Para x, y postivos se tiene que z= x+y es positivo.

(A11) si x≠ 0 se tiene que x es positivo o que x es negativo pero no los dos simultaneamente.

(A12) Si x es negativo entonces (-x) es positivo.

nota: Aquí damos por hecho que 0,1,x,y,z son números reales.

DEFINICION 1.

x es positivo si y solo si x>0.

DEFINICION 2.

x es negativo si y solo si 0>x ó (-x)>0.

DEFINICION 3.

x-y es positivo si y solo si x-y>0, lo que implica que x>y.

DEFINICION 4.

La igualdad (=) es una relación de equivalencia, es decir,

1. a=a (reflexiva)

2. si a=b entonces b=a (simétrica)

3. si a=b y b=c entonces a=c. (transitiva).

DEFINICION 5

Para toda x,y reales con y≠0 tenemos que: x•(1/y) = (x/y).

TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

A partir de los axiomas de R, los axiomas de orden y de las definiciones mostraremos algunas de las propiedades de los reales demostrándolas como teoremas que nos servirán para entender la naturaleza y comportamiento de este conjunto de números.

Teorema 1

En los números reales se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la suma, es decir:

i) Si x+y=x+z entonces y=z.

ii) Si y=z entonces x+y=x+z.

Demostración/:

i)

y = 0+y

y = ((-x)+x)+y

y = (-x)+(x+y)

y=(-x)+(x+z)

y =(-x)+(x+z)

y=((-x)+x)+z

y= =0+z

y==z

la anterior demostración se justifica usando el axioma 4, el axioma 5, ley asociativa, la hipótesis, ley asociativa, el axioma 5 y el axioma 4 respectivamente.

ii)Por ley reflexiva x+z=x+z pero como z=y entonces por ley transitiva x+z= x+y.

Teorema 2

Los neutros e inversos aditivos y multiplicativos son únicos.

Demostración/:

Supongamos que existen 01 y 02 dos neutros aditivos, entonces01 + 02 = 01 y 02 +01 = 02 luego por ley transitiva y conmutativa 01= 01 + 02=02 +01 = 02.luego estos neutros aditivos son el mismo. (Análogamente se demuestra para el neutro multiplicativo).

Ahora supongamos que para x hay dos inversos aditivos x1 y x2tal que x+ x1 = 0 y x+ x2 = 0 por ley transitiva tenemos que x+ x1 = x+ x2 luego

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