Propiedades De Los Numeros Reales

La recta numérica es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.

El concepto de números reales apareció a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1000 a.c.

Los números reales son los que pueden ser expresados con un numero entero o decimal esto quiere decir que abarcan los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados con una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de numero complejo) y números trascendentes (un tipo de numero racional.)

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de oración básica con dos acepciones: las raíces de orden par de números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de un número complejo) y no existe una división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

Propiedades de los números reales

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma

Multiplicación a+b = b+a

ab = ba El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. 2+8 = 8+2

5(-3) = ( -3)5

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Asociativa Suma

Multiplicación a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc) = (ab)c Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. 7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Identidad Suma

Multiplicación a + 0 = a

a x 1= a Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. -11 + 0 = -11

17 x 1 = 17

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Inversos Suma

Multiplicación a + ( -a) = 0

La suma de opuestos es cero.

El producto de recíprocos es 1. 15+ (-15) = 0

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Distributiva Suma respecto a

Multiplicación a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando. 2(x+8) =

2(x) + 2(8)

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número. - ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo. ( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)

= - 30

( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo. ( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real. -1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedades del cero

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0. 16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces

a = 0 ó b = 0 Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0. (a+b)(a-b) = 0 entonces

a + b = 0 ó a – b = 0

TRICOTOMÍA

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones. ; ;

Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .

Es el arte de hacer divisiones tríadicas. Tal división depende de las concepciones de primero, segundo y tercero. Primero es el comienzo, aquello que es fresco, original, espontáneo, libre. Segundo es aquello que está determinado, terminado, acabado, que es correlativo, objeto, necesitado, reacción. Tercero es el medio, lo que llega a ser, lo que se desarrolla, lo que se produce.

La tricotomía es un término que define la composición del ser humano como un ser tripartito bajo una óptica bíblica y compuesto por 3 partes fundamentales complementarias no excluyentes: Espíritu, Alma y cuerpo.

Transitividad

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Densidad

Densidad Dados a; b 2 R si a > b entonces existen un elemento x 2 R

tal que a > x y x > b:

La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de

Número real, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números “suficientes" para explicar el mundo real.

I

Axioma del supremo

Axioma del supremo sea A R tal que existe k € R con la propiedad

de que

k > a para toda a € R:

Entonces existe un elemento s € R tal que cumple la propiedad anterior y además si k es otro número que cumple la propiedad entonces s < k.

Existen más propiedades que se pueden deducir fácilmente con ayuda de la definición y de las propiedades dadas hasta ahora:

Si a > b entonces a + z > b + z para

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