Propiedades y clasificación de los números reales

MATEMATICAS

Su Significado proviene del idioma griego y su significado es “conocimiento”

Ciencia encargada del estudio de las propiedades de entes abstractas como los son los números o bien pueden ser las figuras geométricas usando el razonamiento lógico como herramienta.

Se le puede considerar la madre de las ciencias.

Propiedades y clasificación de los números reales.

Número:

Es un símbolo que representa una cantidad. Y se utilizan para un sin número de actividades como lo es las matemáticas, y en las diversas aplicaciones de la vida diaria, como contar cajas, estrellas, etc.

También se puede definir como la entidad abstracta usada para describir cantidades.

Muy seguramente te pedirán identificar algunos números, como buscar el número que no es primo, buscar el irracional, etc., por lo que te debes familiarizar con las características de cada uno de ellos, es más fácil concentrarte en entenderlas que memorizarlas

Definición y propiedades de los números reales

Números reales: Es el conjunto de números que incluye todos los números racionales e irracionales. (Todos los números)

Números racionales: Es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros.

O bien también pueden ser los llamados números decimales, y se representan por medio de una fracción o también por medio de comas.

Ejemplos:

2/6

2/4

3.3333333333333

9.2727272727272

(Nótese como en estos 2 últimos ejemplos, mostramos como estas cifras pueden ser compuestas por decimales infinitas pero siguen periodos definidos). Ya que a diferencia de los irracionales los patrones no siguen periodos definidos por ejemplo: .3456507923747503726237434043873262528430404505

Números irracionales:

Son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen periodos definidos.

Ejemplo:

(Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Que los decimales no siguen un patrón definido.

3.14159 2 6535...

Los números racionales se dividen en los siguientes grupos

A) Números naturales: conjunto de números que utilizamos para contar cantidades enteras positivas

Por lo que su primer elemento es el cero

Todos sus números podrán ser escritos con el número del sistema decimal

Es un conjunto infinito por lo que a cada número siempre le seguirá otro mayor

Por ser enteros, no tiene números intermedios entre un numero y el que le sigue a este

B) Números primos

Todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Ejemplo:

El número 5 tiene solo dos divisores que son el 1 y el mismo 5 por lo que es número primo.

C) Números compuestos (Lo opuesto a Numero primo)

Tiene más de dos divisores distintos. También lo podemos definir como aquel número natural que es mayor que 1 y no es primo. Todo número compuesto puedo descomponerse de forma única como producto de números primos.

Ejemplos:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.

Para ejemplificar más

El 12 es numero compuesto dado que aparte de dividirse entre 1 y 12, también se divide entre 3, 4, 6, etc.

D) Números perfectos

Son los (POCOS) números que su valor es igual a la suma de todos sus divisores positivos, sin incluirse él mismo.

Por ejemplo: el 6 (se puede dividir entre 1,2 y3) y si sumas 1,2y3 la suma te dará 6

Los números que le siguen al 6 son en este orden. 28, 496 y 8128

E) Números enteros

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero).

Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

F) Números pares

Múltiplo de 2

G) Números impares

Numero que no es par y por ende no es múltiplo de 2

Existen otros grupos de números pero estos son los más importantes, por lo que el resto no vendrá al caso en exámenes, por lo que no se pretende sobre saturarte de información.

Propiedades de los Números Reales:

1. Conmutativa de adición:

Es irrelevante el orden de los números en una operación de suma y el resultado siempre será el mismo.

Es decir si vas a sumar dos o más números no importa el orden en que los acomodes, siempre sumara lo mismo.

X+Y = Y+X

2+3 = 3+5

2. Conmutativa de multiplicación:

El orden de los factores no altera el producto. (Mismo caso, que el anterior).

(X) • (Y) = (Y) • (X)

(5) • (4) = (4) • (5)

3. Asociativa de adición:

Es irrelevante el orden de los números en una operación de suma y el resultado siempre será el mismo.

O dicho de otra forma: si vas a sumar 3 o más números no importa si cual sumes con cual, lo importante es que los incluyas a todos en la suma y el resultado invariablemente será el mismo.

(X+Y)+Z = X (Y+Z)

(5+3)+4 = 5 (3+4)

4. Asociativa de multiplicación:

Es irrelevante el orden de los factores en una multiplicación y el resultado siempre será el mismo.

(Similar al anterior, si vas a multiplicar 3 o más números no importa el orden que tomes para iniciar a multiplicarlos, mientras los incluyas a todos, el resultado será el mismo).

(X) • (Y • Z) = (X • Y) • (Z)

(3) • (4 • 5)

...