Los números reales y sus propiedades

Números reales y sus propiedades.

(Notas redactadas por A. DIEGO y M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General)

Los números naturales 1, 2, 3, ... , han sido creados por el hombre para contar los objetos de

conjuntos finitos, el número natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto.

Pero es necesario medir o comparar también longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cantidades

de calor, de electricidad, etc.. Para este tipo de cantidades sabemos decidir cuándo dos de

ellas son equivalentes o iguales, mediante experiencias apropiadas. (Dos varillas que se

pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de

platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe además sumar dos cantidades de una misma

especie y subdividir una cantidad dada en n partes iguales.

De ahora en adelante, consideraremos el problema de medir cantidades en el caso de

longitudes. El problema de precisar la noción de medida o longitud de un segmento se

presentó tempranamente a los geómetras griegos hace unos 25 siglos.

Dado un segmento OU que se considerará como unidad de medida y otro segmento PQ,

puede ocurrir que PQ se pueda partir en n segmentos iguales a OU; en este caso n es la

medida o longitud del segmento PQ (con respecto a la unidad OU ).

Q

U

P

O

Naturalmente, la circunstancia anterior es casual. En general, OU no “cabrá un número exacto

de veces” en PQ.

Subdividamos ahora la unidad OU en m partes iguales. Se dice que cada una de estas partes

(submúltiplos de OU) tiene longitud igual a

1

m

. Si se tiene un segmento PQ que puede

dividirse en exactamente n partes iguales de longitud

1

m

, se dice que la longitud de PQ es

n

m

.

En el ejemplo de la siguiente figura, la longitud de PQ (con respecto a la unidad OU ) es

7

5

.

O U P

En la figura siguiente, el segmento AC es el segmento suma de los segmentos AB y BC.

A B

C

OBSERVACIONES:

1) Es claro que si se subdivide la unidad OU en m partes iguales y luego cada una de ellas

en p partes iguales, la unidad OU quedó subdividida en m⋅ p partes, de modo que la

medida de cada una de ellas es

m⋅ p

1

. Necesitaremos entonces p segmentos consecutivos de

esa medida para obtener uno de los segmentos resultantes de la primera subdivisión, es decir

...