Definición de las propiedades de números reales

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERIA

ALGEBRA SUPERIOR

Dr. Janio Alejandro Ruiz Sibaja

Allan Ernesto Gonzales Constantino

Sergio Eduardo Liévano Torres

1°A

10 de septiembre de 2012, Tuxtla Gutiérrez, Chiapas.

TAREA 1

“Números Reales”

Los números reales son todos los números que tienen un valor definido y que nos sirven para definir cantidades de todas las cosas que nos rodean.

Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos sobre una línea recta conocida como la recta real. El origen de esta recta esta representada con el “0” y todos los positivos se representan a su derecha y los negativos a su izquierda siendo el cero la parte neutral de la recta.

Propiedades:

A continuación se establece un conjunto de axiomas de los cuales se derivan las propiedades de los números reales

Dados dos números reales cualesquiera x y y se define la suma x+y ∈ R Y el producto xy ∈ R que satisfacen los siguientes axiomas:

*Axioma 1: Propiedad conmutativa de la suma,

x+y = y+x

*Axioma 2: Propiedad asociativa de la suma, x+(y+z)=(x+y)+z

Axioma 3: Existencia del neutro aditivo,

existe el 0∈R tal que x+0=x

Axioma 4: Existencia de inversos aditivos,

Para todo numero real x existe -x∈R, tal que x+(-x)=0

Axioma 5: Propiedad conmutativa del producto,

xy = yx

Axioma 6: Propiedad asociativa del producto,

x(yz) = (xy)z

Axioma 7: Existencia del neutro multiplicativo,

Existe el 1∈R tal que x.1= x

Axioma 8: Existencia de inversos aditivos,

Para todo numero real distinto de cero existe x¯1∈R, tal que x.x¯1 = 1

Axioma 9: Propiedad distributiva,

x(y+z) = xy + xz

Todas las propiedades de los números reales pueden demostrarse a partir de los axiomas anteriores, por esa razón se dice que la teoría de los números reales es una teoría axiomática.

Números naturales:

El conjunto de números naturales se denotan por N, y se definen como N= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,....)

Una de las principales aplicaciones de las matemáticas en la vida real ha sido el conteo, y los números naturales han sido la herramienta. Entre las propiedades mas importantes de este conjunto podemos mencionar la existencia de un orden, la existencia del 1 como primer elemento, que todo numero natural tiene otro como sucesor y que todo numero natural excepto el numero 1, tiene otro como antecesor. En términos formales se tiene:

* 1<n para todo n∈N.

* Si k∈N se define como sucesor k+1 y además k+1∈N.

* Si k∈N, k≠1, se define su antecesor como k-1 y además k+1∈N.

Números enteros:

Se define el conjunto de números enteros como,

Z= (..., -2, -1, 0, 1, 2, ....)

En Z tanbien están definidas las operaciones de suma y producto que son, de nueva cuenta, cerradas, conmutativas y asociativas, tanbien se verifica la propiedad distributiva de la suma, existe el elemento neutro multiplicativo, pero además se agregan el “cero” como elemento neutro aditivo y “los números negativos” como inversos aditivos. Estas propiedades permiten la definición de la resta como una derivada de sumar un numero con el inverso aditivo de otro, es decir x-y = x+(-y).

No obstante lo anterior, la solución a problemas elementales como repartir una naranja entre dos personas o describir que parte representa un minuto de una hora, o simplemente para dar el resultado exacto de dividir 46 dulces entre 5 niños, no pueden resolverse en términos de números naturales ni de números enteros. Se hace necesaria, entonces, la introducción de los números fraccionarios, también conocidos como los números racionales que tienen otros propiedades de mayor aplicación.

Números racionales:

Se define el conjunto de números racionales como:

Q= {a/b; a,b€Z, b≠0}

Los siguientes son ejemplos de números racionales:

1/5, 4/9, -2/3, 4/1, 3/11, 4/-13

Cualquier número natural.

Cualquier número entero.

Cualquier expansión final finita como, 0.25, 3.1, -7.05, 1.1.

Cualquier expansión decimal infinita periódica, por ejemplo: 3.4= 3.4444444… , -52.04= -52.04040404… , 5.123= 5.123123123…

Los números naturales históricamente se definen como cocientes de números enteros, la condición es que el denominador sea diferente de cero. Dado que todo numero entero n puede expresarse como el coeficiente n/1, entonces se considera que todo número entero es un número es un numero racional. Es decir N€Z€Q

Todas las propiedades de los enteros siguen siendo validas en Q, pero además se verifica la existencia de los inversos multiplicativos para cualquier numero racional, excepto el cero. Si a/b € Q el inverso multiplicativo se define por b/a€Q y satisface a/b.b/a = 1. Se define la division de dos números como el producto de uno por el inverso de otro distinto de cero, esto es a/b = a. 1/b = a.b-1.

Dado un numero racional a/b es posible realizar la division de a entre b, para obtener como resultado un numero decimal. Todo numero racional puede expresarse como una expansión decimal o como una expansión decimal infinita periódica.

Números irracionales:

Al intentar responder preguntas como: ¿Cuál es la longitud de la arista de un cuadrado que tiene área 2? O ¿Cuál es la razón entre el perímetro de una circunferencia y su radio?, encontramos que las respuestas √2 y π respectivamente, no pueden expresarse como u numero racional. Números de este tipo se conocen como números racionales se “intercalan” en toda la recta numérica en los “huecos” que existen entre los elementos del conjunto Q.

Se define el conjunto de números irracionales I como el conjunto de todos los números que no son racionales.

I= {xl x es una expansión decimal infinita no periódica}

Algunos números irracionales son:

e

π

√2

En conclusión los números reales se clasifican de la siguiente manera: Definiéndose al conjunto de los números reales como la unión

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