Determinante de una matriz y sus propiedades

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN.

UNIVERSIDAD DE CARABOBO.

VALENCIA, CARABOBO.

Determinante de una Matriz y sus Propiedades.

Autor: Augusto Fernandez

C.I: 30.111.212.

Naguanagua, 2023

¿Qué es una determinante?

Un determinante es una medida numérica relacionada con una matriz cuadrada. Se calcula observando las líneas diagonales primarias y secundarias de la matriz, multiplicando los valores en la diagonal principal y restando el producto de los elementos en la diagonal secundaria. El resultado es un solo número que describe la matriz y puede ser positivo, negativo o cero.

La determinante se le conocerá como “|A|” donde A siempre será una matriz. Ejemplo:

1. En matrices de orden 1 se deja tal cual

 = 5 [pic 1]

1. En matrices de orden 2, debemos sumar el producto de la diagonal principal con el producto de la diagonal secundaria.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

 = (3.2) - (0.1) = 6 - 0 = 6 [pic 6]

           Diagonal Principal.             Diagonal secundaria.[pic 7][pic 8]

1.  En matrices de orden 3 debemos formar dos grupos de números en la matriz. El primer grupo se obtiene a lo largo de la Diagonal Principal, que es la diagonal que asciende de izquierda a derecha. El segundo grupo se obtiene a lo largo de la Diagonal Secundaria, que son las diagonales que descienden de derecha a izquierda. Al sumar los productos de los números de la Diagonal Principal y restar la suma de los productos de la Diagonal Secundaria, se obtiene el determinante de la matriz.[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

 = (2.3.4) + (2.2.2) + (1.5.0) [pic 14]

(estos son las diagonales ascendentes)[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

 = (0.3.2) + (2.1.4) + (2.5.2)[pic 20]

(estos son las diagonales descendentes)

 = (2.3.4) + (2.2.2) + (1.5.0) - (0.3.2) + (2.1.4) + (2.5.2)[pic 21]

 = 24 + 8 + 0 - 0 + 8 + 20        

 = 32 – 28        

 = 4

Propiedades de los determinantes:

Ciertas determinantes al poseer ciertos requisitos pueden cumplir las propiedades, tales son:

1. |A| = 0 cuando:

1. Todos los elementos de una fila o columna son cero. Ejemplo:

A =   = (2.0.1) + (3.0.3) + (0.2.4) – (4.0.3) + (3.0.1) + (0.2.2)[pic 22]

                             = 0 + 0 + 0 – 0 + 0 + 0        

   = 0

B =   = (0.4.1) + (6.2.0) + (0.3.9) – (9.4.0) + (6.0.1) + (2.3.0)[pic 23]

                           = 0 + 0 + 0 – 0 + 0 + 0        

    = 0

1. Todos los elementos de dos filas o columnas son iguales.

A =   = (4.1.9) + (5.2.4) + (3.5.9) – (9.1.4) + (5.3.9) + (2.5.4)[pic 24]

                  = 36 + 40 + 135 – 36 + 135 + 40

                  = 211 – 211                 

  = 0

B =   = (4.8.1) + (3.2.1) + (2.4.4) – (4.8.1) + (3.2.1) + (2.4.4)[pic 25]

                  = 32 + 6 + 32 – 32 + 6 + 32

  = 70 – 70                 

  = 0

1. Todos los elementos de una fila o columna son combinaciones lineales de otra fila o columna.

A =   = (7.4.2) + (4.1.15) + (8.8.1) – (1.4.15) + (4.8.2) + (1.8.7)[pic 26]

                     = 56 + 60 + 64 – 60 + 64 + 56

     = 180 – 180                

     = 0

B =   = (7.4.10) + (4.12.2) + (8.8.11) – (11.4.2) + (4.8.10) + (12.8.7)[pic 27]

                     = 280 + 96 + 704 – 88 + 320 + 627

...