Diferenciales cálculo

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD YACAMBU VICERRECTORADO DE ESTUDIOS VIRTUALES ESCUELA DE CONTADURIA PÚBLICA Cátedra: Cálculo Diferencial Tra bajo 2 Límites y Derivadas Octubre de 2009 Introducción El Límite y las Derivadas son conceptos fundamentales del cálculo diferencial. El Límite es una definición que combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Son aquellos valores que toma una función para definir hasta donde puede llegar en un determinado punto de la gráfica, los límites pueden ser hacia la derecha del valor o hacia la izquierda del valor. La derivada de una función en un punto mide la pendiente de la tangente de la función en dicho punto. Por medio dela derivada, se estudia el crecimiento y decrecimiento de una función en los diferentes intervalos y dominio de sus campos de existencia. El concepto de derivada se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación, por tal motivo es una herramienta del cálculo fundamental en los estudios de Física, Química, Biología, Economía y Sociología. En el trabajo se trataron los siguientes temas: Definición de Limite, infinitos asintóticos, concepto de Derivada, Funciones creciente y decreciente, Máximos y mínimos en todo su dominio y en un intervalo. El estudio de este contenido permitirá analizar conceptos, ecuaciones y gráficos que ilustran relaciones entre variables y el comportamiento de funciones. El trabajo esta conformado por: índice, Introducción, Desarrollo de los temas, Conclusiones e Infografía. Límites y Derivadas Definición de Límite de una Función Tender a un límite significa acercarse a una meta, en términos matemáticos, se combinan los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito). Sea una función y= f(x) y sea a un punto que pertenece al dominio de la función o que está en la frontera de su dominio. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L y se escribe: lim f(x)= L x→a Cuando el límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales a L .En este caso ya no se emplea ningún signo como exponente de a .Entonces tenemos: lim f(x)= L x→a Significa lim f(x)= L (Límite por la izquierda) x→a^- y lim f(x)= L (Límite por la derecha) x→a^+ Entonces para que exista el límite de una función deben de existir los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ejemplo: De acuerdo a la función f(x) que muestra la Gráfica 1. La función está definida en todos los números reales pero hay un punto especial a en donde la función tiene un valor que se aparta de lo esperado pues rompe la continuidad de la curva y forma como especie de un hueco: f(a)=b .Por lo tanto se puede afirmar que: lim f(x)= L. x→a Este hecho es independiente de que f(a)=b, que es un valor distinto a L. En realidad esto no interviene en los resultados. Podría pasar que f(a)=L o podría ser que f(a) no estuviera definido y se podría seguir afirmando lo mismo sobre este límite. Es importante saber que si el límite por la izquierda no existe o si no existe el límite por la derecha o en todo caso si estos límites son distintos, entonces el límite de la función en ese punto no existe, y la función se expresaría como: lim f(x) (no existe) x→a significa alguna de estas tres situaciones lim f(x) no existe o x→a^- lim f(x) no existe o x→a^+ lim f(x) ≠ lim f(x) x→a^- x→a^+ Definición de Infinitos Asintóticos El vocablo asíntota, (antiguamente, “asimptota”), se origina del griego asumptotos, compuesto de “a sun pipto”; a=“sin”; sun= “juntamente con” y pipto: “tocar”. Entonces, sunpipto significa “encontrarse reunirse” y, por tanto significa “sin encontrarse, sin reunirse, sin tocarse”. En el ámbito matemático específicamente en el estudio de las funciones el término asíntota se entiende como la línea recta que se aproxima muy cercanamente a una curva, pero nunca la toca conforme la curva avanza hacia el infinito en una dirección. Las asíntotas surgen de manera natural al estudiar el comportamiento de una función “en el infinito” de las variables. Ejemplo: Dada la Gráfica 2: xy=1 Se observa que los ejes x y y son asíntotas de la curva xy=1.Conforme x se acerca al infinito, la curva se acerca más y más al eje x, pero nunca la toca. De modo similar, conforme y se aproxima al infinito, la curva también se acerca más y más al eje y, pero nunca lo toca. 2.1 Clasificación de Infinitos Asintóticos Las asíntotas de una función se clasifican en: Verticales, Horizontales y Oblicuas. Asíntotas Verticales: ( paralelas al eje OY) La recta x=a es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: lim f(x) =+∞ x→a^- lim f(x) =+∞ x→a^+ lim f(x) =-∞ x→a^- lim f(x) =+∞ x→a^+ Ejemplo: f(x)= 1/〖(x-2)〗^2 , lim f(x) 1/〖(x-2)〗^2 =∞, x= 2 es la asíntota vertical x→2 Gráfica 3: Asíntota Vertical Asíntotas Horizontales : (paralelas al eje OX) Las asíntotas horizontales son consideradas asíntotas oblicuas con pendiente cero. La recta y=b es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple algunas de las siguientes condiciones: lim f(x) =b b) lim f(x) =b x→-∞ x→+∞ Ejemplo: f (x)= (x+1)/(x+3) , lim f(x) = (x+1)/(x+3) = 1, y=1 es la asíntota horizontal x→∞ Gráfica 4: Asíntota Horizontal Asíntotas Oblicuas: (inclinadas) La recta “y=mx+b” es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: a) lim = (f(x))/x = m lim = (f (x) – mx)= b x→-∞ x→-∞ b) lim = (f(x))/x = m lim = (f (x) – mx)= b x→+∞ x→+∞ Ejemplo: f(x)= □((2x^2)/(x+3)) , lim = ( □((2x^2)/(x+3))))/x = lim (2x^2)/(x^2+3x) = 2=m x→∞ x→∞ lim ⟦(2x^2)/(x+3)-2x⟧ = -6 = n, y= 2x-6 es la asíntota oblicua x→∞ Gráfica 5: Asíntota Oblicua Concepto de Derivada El concepto de derivada relacionado con el teorema fundamental de cálculo, es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto, es decir expresa la variación de una función. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia. Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en algunos de sus puntos, por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad. A manera representativa, sea una función de variable real definida en un entorno del punto a ∈ R, se dice que f(x) es derivable en el punto a si existe y es infinito el siguiente límite: ƒ′ (a)= lim f(x) = (f (x)- f (a))/(x-a) x→a Se simboliza por ƒ′ (a) y se llama derivada de la f en x=a. ƒ′ (x)= lim f(x) = (f (x+h)- f (x))/h h→0

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