Difusión-Reacción
Enviado por Eduardo_0105 • 9 de Junio de 2023 • Apuntes • 572 Palabras (3 Páginas) • 40 Visitas
Hernández Eduardo
Difusión-Reacción
Debido a que los órdenes de reacción se refieres a cómo la velocidad de la reacción depende de la concentración de los reactivos podemos expresar:
[pic 1]
Resolviendo la ecuación diferencial (hallando su solución general) debemos suponer una solución de tipo , donde es una constante que se determinara, realizando la segunda derivada obtenemos:[pic 2][pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
Dado que no es igual a cero, se debe tener que Por lo tanto, esta dado por:[pic 7][pic 8][pic 9]
[pic 10]
Siendo la solución general de la ecuación diferencial:
[pic 11]
O también:
[pic 12]
*Hay que recordar que , son constantes arbitrarias que se deben determinar usando las condiciones de frontera dadas. [pic 13] |
Coordenadas Cartesianas:[pic 14]
Caso 1. Condiciones de frontera Dirichlet-Dirichlet. Estas condiciones implican que se especifica el valor de la función en los extremos del dominio:
Para:
[pic 15] | [pic 16] |
[pic 17] | [pic 18] |
Al elevar la condición de frontera de la Ec. (4) en la Ec. General de la ecuación diferencial (3). Si se despeja la constante se tiene:[pic 19]
[pic 20]
Sustituyendo la constante en la Ec. (3) se obtiene:[pic 21]
[pic 22]
O reescribirse como:
[pic 23]
Usando el teorema de adición para :[pic 24]
[pic 25]
Obtenemos:
[pic 26]
Evaluando la condición de frontera para se tiene:[pic 27]
[pic 28]
Al despejar la constante se obtiene:[pic 29]
[pic 30]
Al sustituir la constante se puede obtener:[pic 31]
[pic 32]
Para el caso en el que y , así cómo y la ecuación (8.3), se obtiene:[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
[pic 37]
Caso 2. Condiciones de frontera Dirichlet-Neumann. Estas condiciones son un tipo de condición mixta que se utiliza en la resolución de ecuaciones diferenciales. En estas condiciones, se especifica el valor de la función en un extremo del dominio y la derivada de la función en el otro extremo.
Para:
[pic 38] | [pic 39] |
[pic 40] | [pic 41] |
Evaluando la condición para en la Ec. (3.1):[pic 42]
[pic 43]
Despejando la constante :[pic 44]
[pic 45]
Sustituyendo la constante :[pic 46]
[pic 47]
Evaluando la condición de frontera en :[pic 48]
[pic 49]
Despejando :[pic 50]
[pic 51]
O usando el teorema de la adición de Cosh:
[pic 52]
Regresando a la Ec. (12):
[pic 53]
Reduciendo, usando el teorema de la adición de Cosh:
[pic 54]
Caso 3. Condiciones de frontera Robin-Neumann. Estas condiciones de frontera son de un tipo de condición mixta. En estas condiciones, se especifica una combinación lineal del valor de la función y su derivada en un extremo del dominio, y se especifica la derivada de la función en el otro extremo.
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