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Francisco Rivero Mendoza Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes Mérida, Venezuela Una Representación Semiótica para construir los Números Enteros1. Introducción: El salto cognitivo entre la aritmética y el álgebraUno de los grandes problemas que enfrentan los profesores de Matemáticas deEducación Básica es la introducción adecuada del álgebra a partir del séptimo grado. Eljoven que venía trabajando con cantidades numéricas concretas en los grados anteriores,debe ahora enfrentarse a la complejidad del álgebra, donde se manejan símbolos quemuchas veces carecen de significado concreto. Es ciertamente un salto tremendo entrearitmética y álgebra en donde se inician los procesos de abstracción matemática, y quedebe ser abordado con mucha dedicación por parte del docente, para evitar el rechazohacia la matemática, tan común entre los estudiantes de bachillerato. La primeradificultad que enfrentan estos jóvenes es la comprensión de los números negativos. Elconcepto de número negativo, por ser tan abstracto y poco intuitivo, requiere del usointeligente de recursos pedagógicos que sean lo suficientemente simples para ser usadoen niños de educación primaria, y por otro lado coherentes desde el punto de vistamatemático.Un buen modelo o representación semiótica, debería facilitar en el mejor de los casosuna total comprensión del concepto de número entero, números negativos y lasoperaciones de suma, resta y producto. Por otro lado, debe ser claro y libre deambigüedades que puedan entorpecer el aprendizaje posterior del álgebra. Sería tambiéndeseable, tener un modelo en donde las operaciones de suma y multiplicación denúmeros enteros, se realice en forma parecida a dichas operaciones en los númerosnaturales.2. El Modelo MOFIP

El modelo que vamos a presentar en este trabajo es del tipo de equilibrio y serádenominado Modelo Operatorio de Fichas en el Plano, (MOFIP). Para suimplementación se requiere de un pedazo de cartulina de forma rectangular, paraconstruir un tablero, y una fichas o monedas. En este modelo se considera a un númeroentero , como una resta de dos números naturales ( minuendo y sustraendo) m- ndonde la diferencia carece de sentido, en el contexto de los números naturales si n esmayor o igual a m. En tal sentido, un número entero se puede considerar como un par denúmeros naturales : una positiva y otra negativa, dadas por m y n respectivamente.Para dar una representación de dicho número, comenzamos por dividir el tablero endos partes iguales, por medio de una línea vertical. Obtendremos así dos zonas de igualtamaño. La del lado derecho será llamada positiva y la del izquierdo será llamadanegativa . Ver la figura negativa positiva n mEn vez de escribir los números sobre el tablero, usaremos fichas del mismo color e igualtamaño, para representarlos.Reglas para el uso del modeloA continuación damos una serie de reglas que permiten utilizar este modelo para laoperaciones de suma y resta de números enteros, y la resolución de ecuaciones lineales.Es recomendable en una primera etapa, trabajar con pocas fichas, para que el estudiantese familiarice con el uso del modelo.

Principio de cancelaciónYa hemos visto que todo número entero se representa mediante un conjunto de fichas enambos lados del tablero. Pues bien, de ahora en adelante se pueden cancelar fichas dellado positivo con las del lado negativo, una a una. De esta manera tendremos al finalfichas en un solo lado, o bien ausencia de fichas.Representación de los números enterosUna vez establecido el principio de cancelación entre las fichas, podemos hacer laidentificación entre números enteros y fichas. De acuerdo a la disposición de las fichasen el tablero, se tienen tres tipos de números enteros a) Enteros positivos, que se representan con fichas del lado derecho b) Enteros negativos, que se representan con fichas del lado izquierdo c) El cero que se representa mediante la ausencia de fichas.Por ejemplo el número entero 7 se puede representar como

El entero - 5 se representaSuma de números enterosLa suma de enteros se hace por medio de un simple algoritmo de acumulación de fichas,teniendo en cuenta la posición de las mismas, a la derecha o izquierda de la raya central.I) Sumandos con el mismo signo.Se debe realizar usando el siguiente algoritmo :Cuando se suman enteros del mismo signo, se acumulan las fichas en cada ladocorrespondiente a dichos números.Por ejemplo si se quiere sumar 3 + 4 entonces se deben realizar los pasos siguientes :1) Se colocan 3 fichas del lado derecho.2) Se colocan 4 fichas del lado derecho.3) Se acumulan las fichas, para obtener 7 fichas en total en el lado derecho y ninguna en el lado izquierdo.4) El resultado es 7.

Si se quiere sumar -3 + (-2) se procede de la manera siguiente :1) Se colocan 3 fichas del lado izquierdo.2) Se colocan 2 fichas del lado izquierdo.3) Se acumulan las fichas, para tener 5 del lado izquierdo y ninguna del lado derecho.4) El resultado es -5.II) Sumandos con signos opuestosLa suma de dos números enteros de distinto signo, se hace repitiendo los mismos pasosque en el caso anterior, pero posteriormente se debe aplicar el principio de cancelaciónCuando se suman enteros de distinto signo se colocan fichas a ambos lados del tablero.Por ejemplo, si queremos sumar 3 + ( -4), procedemos de la siguiente forma :1) Se colocan 3 fichas del lado derecho.2) Se colocan 4 fichas del lado izquierdo.3) Se cancelan fichas en ambos lados ( Principio de cancelación).4) Al final quedará sólo una ficha del lado izquierdo y por lo tanto el resultado es -1.El tablero antes de cancelar luce de la siguiente forma :

Una vez que se ha realizado la cancelación de fichas, se obtiene el número enteroEl Opuesto de un número enteroSi n es un Número Entero cualquiera, representado por n fichas en alguno de los ladosdel tablero, entonces el Opuesto de n , denotado en símbolos algebraicos por -n, sehalla representado por n fichas colocadas en el lado opuesto. Es decir, el opuesto onegativo se halla mediante una inversión de fichas. Si a n se le suma su opuesto,siguiendo las reglas de suma, obtenemos cero fichas en el tablero. Como conclusión deesto se deduce la regla algebraica n + (-n) = 0Resta de números enterosLa operación de resta es bastante sencilla de ejecutar en el tablero. El algoritmo de restaes el siguiente :Si se quiere restar un entero positivo n a un entero z, entonces colocamos en eltablero n fichas en el lado izquierdo del tablero.Para demostrarle al estudiante la consistencia de este método con su idea intuitiva derestar, quitando cosas, se recomienda hacer unas cuantas restas, en donde el resultadosea positivo. Por ejemplo, hacer las diferencias en el tablero 7-4, 10-8,...,etc. y compararestos resultados con los obtenidos usando simple sustracción. Con esta manera de hacerla resta, el estudiante se

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