Ecuacion De Onda

Ecuación de propagación de una onda

Imaginemos una onda que viaja en una dirección, por ejemplo, una onda en una cuerda muy larga. Supongamos una situación ideal en la que el medio sea uniforme y la onda no pierda energía, de manera que la amplitud no disminuya a lo largo de su trayecto.

Si nos fijamos en un punto cualquiera de la cuerda, que habremos pintado previamente para diferenciarlo de los otros, observaremos que su movimiento es armónico, igual que el del punto donde se genera la onda. Sin embargo, hay una diferencia importante: su movimiento es igual que el del punto en el que se genera la onda, pero está desfasado.

Vibra del mismo modo que el punto de la cuerda que está en el origen, que denominaremos fuente de la onda, pero con un cierto retraso. Este retraso es el tiempo que tarda la onda en llegar.

Supongamos la ecuación del movimiento vibratorio del punto de la cuerda que se encuentra en el origen de la onda:

y = A sen wt

Como la onda viaja a una velocidad vp a través del medio, tarda un tiempo, que denominaremos tr (tiempo de retraso), en llegar a un punto que esté a una distancia x. Se ha de verificar:

vp = x/tr ; tr = x/vp

Podemos considerar que la ecuación con que vibra el punto a una distancia x es la misma que la ecuación con que vibra el que se encuentra en el origen, pero lo hace en un tiempo t - tr, retrasado respecto al origen:

y = A sen w (t – tr) = A sen [wt - w (x/vp)]

Si consideramos que vp = λ/T; vp = λf y w = 2πf, la ecuación anterior puede expresarse así:

y = A sen [wt - 2πf (x/λf) ] = A sen [wt – (2π/λ) x]

Si llamamos k, número de onda, a la expresión 2π/λ, la ecuación que indica cómo se mueve un punto que esté a una distancia x del origen a lo largo del tiempo es la siguiente

y = A sen (wt - kx)

donde:

w = 2π/T

La ecuación anterior también puede escribirse así:

y = A sen 2π (t/T – x/λ)

Estas ecuaciones corresponden a un punto x que esté en la dirección hacia donde viaja la onda (a la derecha del origen), de manera que hace lo mismo que la fuente de la onda pero con un cierto retraso. Si la onda viaja en sentido contrario, de manera que pasa antes por el punto en la posición x que por el origen, será aquel punto el que vibre antes. En la ecuación anterior, sólo cambiará el signo: habrá un signo + en lugar del signo -:

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