Ecuaciones Y Desigualdades

Historia de las ecuaciones:

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo. La cosa era la incógnita. La primera traducción fué hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval, los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue.

Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado:

... ax3 + bx2 + cx + d = 0

Requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.

Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes). Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la "Suma Aritmética". Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h.

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.

En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia: Una solución general para las cúbicas del tipo

x3 + mx2 = h

Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterano, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado. El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.

Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas mas complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 años antes.

En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un número real, el resultado se llama número complejo. Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían

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