Ecuaciones de la hipérbola.

Hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos:

a)

b)

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda:

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Ecuaciones paramétricas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

Elipse

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

• el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con

Dado que , también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1 + PF2 = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Además de la bien conocida relación , también es cierto que , también es útil la fórmula .

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF'].

...