Ejercicios Resueltos de Estadística

Ejercicios Resueltos de Estadística:

Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes

1. Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39≤ X ≤41) para n=10. ¿En qué intervalo se obtendrán el 95% de los resultados?

SOLUCIÓN:

Pr (39 0.31623)

Z = → N (0,1); Pr (39≤ X ≤41) = Pr (Z≤0.31623) - Pr (Z≤-0.31623) =

= 2 Pr (Z≤0.31623)

Y por tanto, Pr (39≤Z≤41) = 2∗0.6241−1 = .02482

Pr (µ-ε≤ X ≤ µ+ε)=0.95

Pr (µ-ε≤ X ≤ µ+ε)=2∗Pr(Z

Pr (Z =0.975 → Z 0.975 → ε=1.96 10 = 6.1981

Por tanto, el intervalo es: (33.802,46.198)

2. Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una distribución N(7.5,0.3), calcular la probabilidad de que para una muestra de tamaño n=5, se obtenga

medio menor que 7, Pr ( X ≤ 7).

SOLUCIÓN:

A partir de una muestra de tamaño n=5 de una población normal N(µ=7.5,σ=0.3), tenemos que:

 

 

Pr(X ≤ 7) = Pr X 0−.37.5 ≤ 7 −0.73.5 = Pr(Z ≤ −3.7269)



 5 5 

Donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto, Pr ( X ≤7) = 0.0001

3. Si la altura de un grupo de población sigue una distribución normal N(176,12), calcular la Pr(S≤10) para una muestra de tamaño 8.

SOLUCIÓN:

Considerando una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal N(µ,σ), por el teorema de Fisher tenemos que:

(n σ−12)S 2 ~ χn2−1

En particular, para una muestra de tamaño n=8 de una población normal N(176,12), el estadístico sigue una distribución χ72 , y por tanto

Pr(S ≤10) = Pr(S 2 ≤100)= Pr 7 S 2 ≤ 700 = Pr(T ≤ 4.8611)

144 144 

Donde la variable T sigue una distribución χ72 , es decir,

Pr(S ≤10) = 0.3232

4. Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo sigue una distribución N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los 300Kg.

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que el peso de cada individuo tiene una distribución normal N(µ = 71,σ = 7), si seleccionamos una muestra aleatoria de 4 individuos, tenemos que:



 i=1 > 300  ∑=4 Xi 300 = Pr(X > 75)= Pr X −7 71 > 757− 71 =

Pr∑4 X i  = Pr i 14 > 4  

   4 4 

= Pr(Z >1.1429) =1− Pr(Z ≤1.1429)

donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto,

 4 

Pr∑ X > 300 =1− 0.8735 = 0.1265

 i

5. Calcular la probabilidad de que la media µ se encuentre entre X ± 3S para poblaciones normales y n = 5.

SOLUCIÓN:

A partir del teorema de Fisher, en el muestreo sobre poblaciones normales, tenemos que los estadísticos X y S2 son independientes, siendo la distribución del estadístico

T = n ∗ X −µuna tn-1(t de Student de n -1 grados de libertad). En particular, si consideramos S

una muestra aleatoria de tamaño n = 5, la probabilidad de que la media esté entre X ± 3S viene dada por:

 

Pr(X −3S < µ< X + 3S)= Pr−3 < µ−S X < 3 = Pr−3 5 < < 3 5 = Pr(−3 5 < T < 3 5)



 donde T tiene una distribución t4, y por tanto:

Pr(X −3S <µ< X + 3S)= Pr(−3 5 < T < 3 5)= 2Pr(T < 6.7082)−1= 2∗0.9987 −1= 0.9974

6. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para la probabilidad de p de que un recién nacido sea niño si en una muestra de tamaño 123 se han obtenido 67 niños.

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que la proporción de varones recién nacidos puede modelizarse por una variable Bernoulli de parámetro p (probabilidad de que un recién nacido sea varón), el intervalo de confianza al nivel α = 0.05 viene dado por:

 pˆ − z −pˆ(1− pˆ), pˆ + z −pˆ(1− pˆ) 

 1 n 1 n 

Donde n = 123. pˆ = 12367 y z −= z0.975 =1.96, es decir,

1

(0.544715− 0.0880096,0.544715 + 0.0880096)

y por tanto, el intervalo (0.0456706,0.632725) contendrá a la proporción de varones nacidos con una probabilidad del 95%.

7. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.001 para el peso exacto mediante los resultados obtenidos con 10 básculas:

7.20, 7.01, 7.36, 6.91, 7.22, 7.03, 7.11, 7.12, 7.03, 7.05

SOLUCIÓN:

Suponiendo que las medidas del peso de las básculas sigue una distribución normal N(µ,σ2 ) con media el peso exacto, estamos interesados en encontrar un intervalo de confianza que contenga a la media de esta distribución, que a un nivel α = 0.001 y desviación típica desconocida, esta determinado por:

X −t

 n−1;1−Sn , X + tn−1;1−α2 Sn 

∑n Xi ∑n (Xi − X )2

donde n = 10, X = i=1n = 7.1040,S = n −1 = 0.1286 , y utilizando la tabla de la distribución t de Student t. Por tanto, el intervalo de confianza al

n

nivel 0.001 es: (6.9096,7.2984)

Y representa que la media del peso estará en dicho intervalo con una probabilidad de acierto del 99.9%.

8. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para σ2 mediante las desviaciones que se producen en un proceso de fabricación cuya distribución es N(0,σ) a partir de la muestra

1.2, -2.2, -3.1, -0.2, 0.5, 0.6, -2.1, 2.2, 1.3

SOLUCIÓN:

Sabiendo que el proceso de fabricación sigue una distribución normal de media conocida µ= 0, un intervalo de confianza para la varianza σ2 al nivel α = 0.05 es el siguiente:

 

 T− ,n χT2α n χ2

 n;1 n; 2 

∑n (Xi −µ)2

donde n = 9, T = i=1 = 3.05333 , y utilizando la tabla de la distribución χ2 , se n

tiene χ2, es decir, (1.44458,10.1763)

n;

Es el intervalo que contendrá con un 95% de acierto las desviaciones que se producen en el proceso de fabricación.

9. Calcular qué tamaño muestral debemos tomar para obtener µ con

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