Ejercicios de vibraciones

EJERCICIO 6.15

Dos resortes idénticos tienen constantes de . Si se coloca en sus extremos inferiores pesos de  y  y se dejan caer simultáneamente desde la posición en que los resortes no están alargados, hallar el tiempo que transcurrirá antes de que ambos pesos estén otra vez en sus posiciones iniciales en el mismo instante.[pic 1][pic 2][pic 3]

SOLUCION

Lo primero que hacemos es convertir la constante de los resortes a [pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Ahora calculamos el periodo de oscilación para cada masa:

[pic 7]

Primero la masa de :[pic 8]

[pic 9]

Luego la masa de :[pic 10]

[pic 11]

Ahora, para que los dos cuerpos estén nuevamente en la posición inicial en el mismo instante, debe transcurrir un número entero de ciclos completos para ambos, entonces el tiempo mínimo será el mínimo común múltiplo de  y .[pic 12][pic 13]

En este caso, nos damos cuenta fácilmente que el tiempo que transcurre antes de que ambos pesos estén otra vez en sus posiciones iniciales es de  segundos, esto ya que  es la mitad de .[pic 14][pic 15][pic 16]

EJERCICIO 6.39

Una barra delgada de peso  y longitud  esta sostenida simétricamente mediante dos cuerdas de longitud  y separadas una distancia . Si la barra se hace girar un ángulo pequeño alrededor de un eje centroidal vertical y después se suelta, hallar el periodo del movimiento.[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

SOLUCION

Cuando la barra se gira un pequeño ángulo , se generó un torque restaurador  debido a la tensión en las cuerdas. Este torque puede ser expresado como:[pic 22][pic 23]

[pic 24]

Luego, la tensión en cada cuerda será:

[pic 25]

Por lo tanto, el torque será:

[pic 26]

Ahora, el torque también se puede expresar como:

[pic 27]

Donde  es el momento de inercia de la barra alrededor del eje vertical y  es la aceleración angular, entonces para la barra:[pic 28][pic 29]

[pic 30]

Sustituyendo esto en la primera expresión de :[pic 31]

[pic 32]

Simplificando, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento armónico simple:

[pic 33]

Donde, relacionándolo con la ecuación diferencial del movimiento armónico simple:

[pic 34]

Luego, el periodo será:

[pic 35]

EJERCICIO 6.45

Demostrar que el decremento logarítmico se puede escribir , donde  es el valor de c para el amortiguamiento crítico.[pic 36][pic 37]

SOLUCION

Definimos el decremento logarítmico:

[pic 38]

Para un sistema subamortiguado, la ecuación de movimiento es:

[pic 39]

Donde

 es el factor de amortiguamiento.[pic 40]

, es la frecuencia natural.[pic 41]

, es la frecuencia amortiguada.[pic 42]

Luego, el decremento logarítmico después de dos ciclos es:

[pic 43]

Reemplazamos  por , donde  es el coeficiento de amortiguamiento critico:[pic 44][pic 45][pic 46]

...