Ejercicios resueltos de transformaicones lineales

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

1). Si V1 = (1,-1) , V2 = (2,-1), V3=(-3,2) y W1=(1,0), W2=(0,-1), W3=(1,1). ¿Existe una

transformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1,2,3 ?

Solución:

Si { v1, v2 , v3 }es base de R2, entonces existe una única transformación lineal

T: R2 à R

Pero:

(-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1)

Þ { v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente

Þ { v1, v2 , v3 }no es base de R2

Þ no existe tal transformación lineal

2) . Sea T: R3à R3 , transformacion lineal , tal que :

T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) = ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1)

Encontrar T (x,y,z)

Solución:

Por demostrar que el conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R3

Sea a.b.c Î R, tal que .

a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0)

a + b = 0

a + c = 0 Þ a = b = c = 0

a + b + c = 0

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Idependiente

Sea (x,y,z) Î R3 , entonces existen escalares a,b,c Î R tal que:

a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z)

a + b = x

a + c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x

a + b + c = z

USACH – Álgebra 2005

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R3

Existe una única T transformación lineal de R3 en R3 tal que :

T(1,1,1) = (1,0,2) , T(1,0,1) = (0,1,1) , T(0,1,1) = (1,0,1)

T(x,y,z) = T(a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1))

T(x,y,z) = aT(1,1,1) + bT(1,0,1) + cT(0,1,1)

T(x,y,z) = (x+y-z)T(1,1,1) + (z-y)T(1,0,1) + (z-x)T(0,1,1)

T(x,y,z) = (x+y-z)(1,0,2) + (z-y)(0,1,1) + (z-x)(1,0,1)

T(x,y,z) = (y , z-y , x+y)

3) .Sea T: R2àR transformación lineal definida por

T (x,y,z) = 2x -3y +z

a) Encontrar [ ]a

b T donde b = { (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} y a ={2}

b) Encontrar kernel (T), Imagen (T), Nulidad(T) y Rango (T)

Solución:

a)

T( 1,0,0) = 2 = 1(2)

T(1,0,0) = 2-3 = -1 = -1/2 (2)

T(1,1,1) = 2-3+1 = 0 = 0(2)

Luego:

[ ]a

b T = [1 -1/ 2 0]

b)

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / T(x,y,z) = 0 }

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / 2x- 3y + z =0 }

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / -2x+ 3y = z }

Kernel (T) = { (x,y,-2x+3y) Î R3 / (x,y) Î R2 }

Kernel (T) = (1,0,-2),(0,1,3) es base de Kernel (T)

ÞNulidad (T) = 2

Imagen (T) ={ T(x,y,z) /(x,y,z) Î R3 }

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