El Génesis y Desarrollo de los Modelos tipo Lotka-Volterra

2. GENESIS´

No es para nada osado pensar que el genesis de los modelos que´ vendr´ıan a valerle a las dos decadas que median entre 1920 y 1940 el´ reconocimiento de “epoca dorada”de la biolog´ ´ıa matematica se re-´ monta a la curiosidad de un nino italiano que a la edad de once a˜ nos˜ lee por iniciativa propia los Elementos de geometr´ıa de Legendre y La historia qu´ımica de una vela de Michael Faraday, que posteriormente a los trece anos llama su atenci˜ on el “problema restringido de´ los tres cuerpos”, un pequeno intr˜ epido cuyas visitas que llegaban´ a su hogar, no se extranaban de sorprenderlo arrellanado en un sof˜ a´ leyendo a Julio Verne, sino lo que hac´ıa despues: plantear las ecua-´ ciones diferenciales que guiaban un cohete hasta la Luna para de pronto descubrir que de la ciencia ficcion le gustaba m´ as la ciencia´ que lo que tuviera de ficcion, Vito Volterra, “Mr. Italian Sciencie”,´ nacido en Ancona el 3 de mayo de 1860, determinado desde los doce anos a convertirse en matem˜ atico, graduado como doctor en f´ ´ısica en el ano de 1882, miembro de la˜ Royal Society de Londres, de la Academia Imperial de San Petesburgo y la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos. Presidio la´ Accademia Nazionale dei Lincei (la academia cient´ıfica mas antigua del mundo), el´ Congreso Nazionale delle Ricerche. Lo alistaron en la Legion de Honor fran-´ cesa, ingreso en la Orden del Imperio Brit´ anico y recibi´ o el t´ ´ıtulo de doctor honoris causa en las universidades de Cambridge y Oxford, senador del reino de Italia y que en 1925 empieza su trabajo de modelacion matem´ atica de los procesos poblacionales al mismo tiempo´ que el biof´ısico estadounidense Alfred James Lotka publica su libro “Elements of Physical Biology”, destinado a convertirse en un pilar

Figura 3. Catastrofe malthusiano´ de una de las subdisciplinas biologicas m´ as activas en investigaci´ on´ teorica usando modelos matem´ aticos: la ecolog´ ´ıa de poblaciones.

Quiza sea a´ un m´ as asertivo considerar que el origen de los mode-´ los matematicos de Lotka Volterra se remonta al a´ no de 1662 con la˜ publicacion de´ Natural and Political Observations Mentioned in a following index and made upon the Bills of Mortality de John Graunt [ref. Hutchinson, G. Evelyn. 1981 An Introduction to Population Ecology.p.g. 22-23], en cuyas paginas se considera que empez´ o la´ demograf´ıa cient´ıfica, para que posteriormente en 1798 se realizara la primera aproximacion al estudio de la din´ amica de poblaciones´ por el reverendo ingles Thomas Robert Malthus (Febrero de 1766´ - Diciembre de 1834) quien escribio su c´ elebre “Essay on the Prin-´ ciple of Population”motivado, nada mas y nada menos que por la´ satisfaccion de llevarle la contraria a su padre el caballero Daniel´ Malthus, terrateniente de moderada fortuna quien viv´ıa convencido de que la humanidad avanzaba viento en popa sobre el camino de la perfeccion, para arruinarle la fiesta, Malthus decidi´ o que el ritmo de´ crecimiento de nuestra especie ser´ıa en cada momento proporcional a su tamano, hip˜ otesis muy barata ya que si se duplica una pobla-´ cion, tambi´ en deber´ ´ıan hacerlo sus expectativas reproductivas.

Al mismo tiempo, Malthus propuso un crecimiento lineal de los recursos. En su ensayo, las dos curvas chocaban (Fig. 3). A partir del punto de corte, una natalidad descontrolada desbordaba la capacidad del hombre para abastecerse, ¡el barco hacia la perfeccion se´ hund´ıa por exceso de pasajeros!. Con este modelo Malthus anticipo´ una catastrofe que despu´ es vendr´ ´ıa a tratar de evitar proponiendo un remedio: la continencia sexual. Hace falta mencionar que su modelo no tomo en cuenta factores como las guerras, las epidemias, la nula´ disposicion del ser humano por distribuir equitativamente los recur-´ sos y el desarrollo de los metodos anticonceptivos[´ ref. Hutchinson, G. Evelyn. 1981 An Introduction to Population Ecology.p.g. 36-40]. Malthus como la mayor´ıa de sus predecesores del siglo XVIII, ve´ıa a las poblaciones desde el punto de vista de un economista y no desde el de un biologo. Apareci´ o 40 a´ nos despu˜ es otro pionero de la´ dinamica poblacional, el matem´ atico belga Pierre Franc¸ois Verhulst´ (Octubre 1804 - Febrero 1849) quien estudiando la ecuacion de la´ curva log´ıstica (Fig. 4).[ref. Hutchinson, G. Evelyn. 1981 An Introduction to Population Ecology. p.g. 15-21]

Puerto 1914 1915 1916 1917 1918

Fiume 12 % 21 % 22 % 21 % 36 %

Trieste 14 % 7 % 16 % 15 % -

Table 1. Datos obtenidos por D’Ancona en los puertos de Fiume y Trieste (1914-1918)

Porcentaje de densidades

Table 2. Datos obtenidos por D’Ancona en los puertos de Fiume y Trieste (1919-1923)

Figura 4. Grafica que expresa el crecimiento continuo de una poblaci´ on´ N que aumenta de manera biologica hacia una as´ ´ıntota superior K

y jugando con la poblacion de B´ elgica a´ nadi˜ o un poco m´ as de´ realismo al Apocalipsis de Malthus que despues de todo dej´ o de ser´ tan apocal´ıptico, sin embargo, el modelo segu´ıa siendo una utop´ıa.

Fue entonces que surgio un misterio en las profundidades del mar´

Adriatico...´

“El Dr. Humberto D’Ancona me ha hablado muchas veces de su coleccion de datos sobre pesquer´ ´ıas durante la epoca de la guerra. Me ha preguntado si ser´ ´ıa posible explicar matematicamente sus resultados sobre las´ variaciones temporales en la composicion de las es-´ pecies. Su pregunta me llevo a plantear el problema´ en las paginas que siguen´ [...]. Ambos hemos trabajado independientemente y estamos complacidos con las coincidencias de nuestros resultados obtenidos por analisis y observaci´ on respectivamente. Al pescar, el´ hombre perturba el estado natural de la variacion de´ la presa y del depredador, incrementando la cantidad de la especie depredada y decreciendo la del depredador... ”

(Vito Volterra, Variazioni e fluctuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi)

Una tarde de 1926, el zoologo Humberto D’Ancona, cu´ nado de˜ Volterra, solicito la ayuda de Vito para esclarecer un problema que lo´ inquietaba. A lo largo de la decada de 1914 a 1923 hab´ ´ıa realizado un estudio sobre la pesca en tres puertos de la costa septentrional de Italia: Fiume, Trieste y Venecia, con el proposito de medir el´ impacto producido por la guerra en diversas poblaciones marinas, el cual mostraba que la proporcion de depredadores no humanos´

Puerto 1919 1920 1921 1922 1923

Fiume 27 % 16 % 16 % 15 % 11 %

Trieste 18 % 15 % 13 % 11 % 10 %

Porcentaje de densidades

(tiburones y rayas) en la captura comercial hab´ıa aumentado despues´ de la guerra de 1914-1918.

Entonces

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