El Mundo Submarino

CÁLCULO PROPOSICIONAL

La lógica estudia las formas del pensamiento desde el punto de vista de su estructura; esto es, analiza las relaciones entre las proposiciones (o enunciados) y no el contenido de éstas; en particular se analiza la veracidad o falsedad de un razonamiento.

Los razonamientos lógicos se utilizan en áreas como: matemática (para realizar pruebas matemáticas, demostrar teoremas etc), derecho (para dar argumentos legales que demuestren la culpabilidad o inocencia de una persona, etc.), vida cotidiana ( para explicar las razones por las que salimos mal en un examen, por las que llegamos tarde a casa, etc.) en computación (par demostrar que los programas hacen precisamente lo que deberían hacer o bien lo que queremos que hagan); en general se usan en cualquier hecho que involucre un conjunto de hipótesis.

En el desarrollo de cualquier teoría, se hacen afirmaciones en forma de oraciones. Tales afirmaciones pueden ser proposiciones o no.

Proposición

Una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa pero no ambas. En general, una proposición se expresa como una afirmación declarativa y no como una pregunta o una instrucción (orden). Una proposición también se llama enunciado.

Notación: las proposiciones generalmente se representan con las letras minúsculas p, q, r, etc. Sin embargo algunos autores simbolizan las proposiciones con letras mayúsculas como son P, Q, R y hasta por A, B, C, ... En este libro usaremos letras minúsculas para denotar las proposiciones. Además, usaremos p:2<5, para indicar que p es la proposición “2 es menor que 5, 2 < 5”.

Valor de verdad

Se denomina valor de verdad de una proposición a la veracidad o falsedad de la proposición o enunciado. El valor de verdad de algunas proposiciones depende del lugar y del tiempo.

CONECTORES LÓGICOS

Las proposiciones pueden ser:

* Simples.

* Compuestas.

Proposición simple

Es una proposición que no puede descomponerse en algo más sencillo, es decir, son proposiciones formadas por una sola oración.

Proposición compuesta

Es una proposición que se forma a partir de dos o más proposiciones simples, las cuales se unen por conectivos de enlace. Estos conectivos de enlace se conocen como conectivos lógicos.

La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones simples.

CONECTIVOS LÓGICOS

Los conectivos lógicos son signos, con significado, que tienen como función enlazar una proposición simple con otra, con el fin de construir proposiciones compuestas.

Conectivos lógicos

* Negación.

* Conjunción.

* Disyunción.

* Implicación o condicional.

* Doble implicación o bicondicional.

Los valores de verdad de las proposiciones compuestas, pueden describirse mediante tablas de verdad.

Tabla de verdad

La tabla de verdad de una proposición compuesta p formada por las proposiciones simples p1, p2, ..., pn enlista todas las combinaciones posibles de los valores de verdad para p1, p2, ..., pn, donde 1 (uno) indica verdaderoy 0 (cero) indica falso, de modo que para cada una de estas combinaciones se indica el valor de verdad de p.

1. Negación

Si p es una proposición, se puede formar la negación de p, usando algunas de las siguientes palabras de enlace:

* No...

* No es cierto que...

* Es falso que...

2. Conjunción

* La conjunción de las proposiciones p y q se puede formar usando algunas de las siguientes palabras de enlace:

* Y... Pero...

* Aunque... Sin embargo...

* Como...

3. (Disyunción inclusiva

La disyunción inclusiva de las proposiciones p y q se puede formar usando la palabra de enlace o y es la relación que se establece entre dos proposiciones indicando que al menos una de ellas es verdadera, aunque puede ocurrir que lo sean ambas y se denota por pq, que se lee “p o q”.

4. Implicación o condicional

La implicación o condicional de las proposiciones p y q se denota por p q que se lee “Si p, entonces q”. Y se puede formar usando las palabras de enlace:

Si p, entonces q. p implica q.

p sólo si q. q si p.

Cuando p, q. q es una condición necesaria para p.

p es una condición suficiente para q. p luego q.

No q a menos que p. p por consiguiente q.

p por lo tanto q. p en consecuencia q.

La proposición p también se llama hipótesis, antecedente o condición suficiente, y la proposición q, conclusión, consecuente o condición necesaria.

5. Bicondicional

Si p y q son proposiciones, la proposición compuestap si y sólo si q, se llama proposición bicondicional o doble implicación y se denota por pq.

Las palabras de enlace son:

p si y sólo si q.

p es una condición suficiente y necesaria para q.

La proposición bicondicional se puede interpretar como dos proposiciones condicionales, siendo estas pq y qp.

TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS

* Tautología

Sea p una proposición compuesta formada por las proposiciones simples p1, p2, p3, . . . , pn. La proposición p es una tautología, si p es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, p3, . . . , pn. Denotaremos una tautología con To.

* Contradicción

Sea p una proposición compuesta formada por las proposiciones simples p1, p2, p3, . . . , pn. La proposición p es una contradicción, si p es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, p3, . . . , pn. Denotaremos una contradicción con Fo.

* Contingencia

Sea p una proposición compuesta formada por las proposiciones simples p1, p2, p3, . . . , pn. La proposición p es una contingencia si es cierta en algunos casos y falsa en otros, dependiendo del valor de verdad de las proposiciones p1, p2, p3, . . . , pn.

EQUIVALENCIAS LÓGICAS

En algunos casos, es posible que dos proposiciones tengan los mismos valores de verdad, sin importar los valores de verdad de las proposiciones simples que las constituyen. Cuando esto sucede se dice que las proposiciones son lógicamente equivalentes.

Lógicamente equivalentes

Las proposiciones compuestas p=p(p1, p2,p3, ... pn) y q=q(p1, p2, p3, ... ,pn) son lógicamente equivalentes y se escribe pq o bien pq, siempre que dados cualesquiera valores de vedad de p1, p2, ,...,

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